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解の無い方程式

1 :132人目の素数さん:02/04/01 05:17
n次方程式は複素数の範囲で必ず解を持ちますよね。
一般的に、どんな方程式も必ず解を持つものなんですか?
(たとえば三角関数とかlogが入り混じっている方程式など)
1/x=0 はx=±∞という解を持つという風に考えることにします。
そうすればどんな方程式も、必ず解を持つと言えるのでしょうか?

複素数の範囲で解を持たない方程式の例があったら教えてほしいのですが。

2 :132人目の素数さん:02/04/01 05:28
x−x=1

3 :133人目の素数さん:02/04/01 05:34
不能(解がない)、不定(解が定まらない)などの方程式は、基本だと思いますが。

4 :132人目の素数さん:02/04/01 06:29
>>2
通常の数では解がありませんが、0=1を満たす数の体系では
解になります。


5 ::02/04/01 07:00
連立方程式ではなく、文字がxひとつだけの方程式の場合
不定や不能ってありましたっけ?


6 ::02/04/01 07:06
>>2
x-x=1
って方程式じゃなくて恒等式じゃないんですか?
偽の恒等式というか。。。
それとも方程式と呼べるんでしょうか。

恒等式は解があるないの問題じゃないですよね。
恒等式は解くものではないですし。

7 :132人目の素数さん:02/04/01 07:27
そんなに文句があるのなら
例えばexp(z)=0などはどうかな?
exp(z):=Σ_{k=1;k->∞}(1/k!)(z)^k


8 :132人目の素数さん:02/04/01 08:16
>>6
x-x=1 も方程式
一度方程式の定義を調べたし
>>7
z=-∞ は?

9 :132人目の素数さん:02/04/01 08:39
f(z)=wでw∈Im(f)でないならば解なんてない。そんなのいくらでも作れる。

10 :132人目の素数さん:02/04/01 08:56
x^2 ≡ 3 (mod 4)

11 :132人目の素数さん:02/04/01 09:04
x=√3

12 :132人目の素数さん:02/04/01 10:29
>>1
例えば
一辺が10cmの正方形二つを対角線で切って、直角二刀辺三角形
を四つ作ります。その面接の合計は10×20(10×10 ×2)=200
です。
この四つの直角2頭辺三角形を並べ替えて、正方形を作ります。
(四つの直角2頭辺三角形が直角で交わるような図。)

この時この正方形の面積は上記と同じく200cm^2
です。一辺の長さの二乗が正方形の面積であるから
X^2=200です。
その時のXは14.121<X<14.1422 どこまでやってもちょうどX^2=200
になる数字はありません。

あくまでも正確な図形が成り立つという仮定ですけど、このような図形がある
場合、正方形の一辺の長さを測るのは不可能なんでしょうか?
対角線の長さが無理数になる場合ではなく、この場合、対角線
が20cm、面積が200cm^2の正方形の場合、一辺の長さの方が
無理数になります。

目の前に目に収まる程度の大きさの図形があって、大きさはもちろん
有限なのに、14.14213562373・・・・・と一辺の長さが無限に続くというのが
ちょっと、日常的な感覚では不思議でたまらな
いんですが?。。。
無限というと、どうしても果てしなく大きいものとかそういうイメージ
になってしまうのですが。。。。果てしなく小さく表せるもの??
二乗すると200になる数は√200、ここまでは頭では分かるんですが、
図のイメージで示されてしまうと、なにかそういうものが現実に
存在するような気になってしまって???

14.1421356373をかけ合わせても、200.000000383で200にはなりませんよね。
いくら小数点以下を増やしても近似値に近づくだけでイコールにはならない。
一辺14.1421356373・・・・・・を引いて200cm^2の図は作れないのに、
200平方cmメートルの図が出来てしまっている。
対角線が20cmの図を作れば、自動的に14.1421356373・・・・√200が引けてし
まっている。不思議です。

なにか目に見える形の数字だけが存在するという風な日常的な先入観がありますが
無理数という数字も存在するってことなんですかねぇ。
まぁ整数にしても人間の頭の中で考えたものに過ぎないと考えれば、そうなんでしょう
けど。

なんというか√っていうのが便宜上作られたものにしか思えないような。
でもその200cm^2の図形は理念上実在する。一辺の長さが√200
不思議っス。

13 :132人目の素数さん:02/04/01 11:03
ついに12の√コピペの貼られた回数が10回を超えました

14 :132人目の素数さん:02/04/02 02:32
Final solution
これでどうだ>>1

|exp(-z)|+|exp(z)|=0 z in Complex numbers


15 :ご冗談でしょう?名無しさん:02/04/02 03:05
>>13
ルート話大人気だなw

16 ::02/04/02 06:58
|x|=−1
x!=−1
Σn=−1 (n=1〜x)

これらのように、絶対値、階乗、シグマを使えば解無しの方程式は作れるので、
絶対値、階乗、シグマを使わないで解無しの方程式の例を教えてください。

コンビネーションやパーミュテーションも使わないでください。



17 ::02/04/02 07:00
あと合同式についてですけど
解を持たない合同式が存在するのは
知っていますので、 ≡ も使わないで下さい。


18 :132人目の素数さん:02/04/02 07:20
∞ も解として認めるなら、たとえば f(z) が整関数の場合

f(z)=0 が解なし
⇒ 1/f(z) は有界整関数
⇒ f(z) は 0 でない定数

なので、解を持たない方程式は
本質的に「0 = 1」のような自明なものしかないことになる?

19 :132人目の素数さん:02/04/02 07:27
>>1
複素関数論知ってる?

20 :132人目の素数さん:02/04/02 12:33
>>18
Picard's Little Theorem
Any entire analytic function whose range omits two points must be a constant function.


21 :132人目の素数さん:02/04/02 13:43
∞ も数として認めるなら、1/z=∞は解を持つのかな?
z=0は解として認められるか?


22 :132人目の素数さん:02/04/02 20:42
>>16を見るに、解を持たない物の例が出たら
それを片っ端から禁止するつもりなんだろ。
真面目に相手するだけ無駄。

23 :132人目の素数さん:02/04/03 00:49
ちょっと待って・・
俺は素人なんだけど、複素数の範囲で考えても
abs(x) = -1
って解けないの?何で?

24 :132人目の素数さん:02/04/03 00:51
>>23
とりあえず、複素数a+ibの絶対値の定義を紙に書いてみ。

25 :132人目の素数さん:02/04/03 01:25
>>1よ。>>16-17のように後だしでルールを設定するのではなく、
「○○という条件の下で解の無い方程式を作れるか」という形で
質問しろや。

26 :132人目の素数さん:02/04/03 02:42
>>1さーん、[ x^x=0 , x∈C ] はどう?

絶対値、階乗、シグマ、コンビネーションやパーミュテーション、合同式
使ってないけど。



27 :132人目の素数さん:02/04/03 03:41
>>1は多分、方程式f(z)=0で
f(C)が0を内点に含まない集合になることを要求していると思われる。
とすると、fは連続でもやばいでしょ。トポロジー的に逝って


28 :132人目の素数さん:02/04/03 06:55
>>1
>n次方程式は複素数の範囲で必ず解を持ちますよね。

1はその証明を御存知か?

29 :132人目の素数さん:02/04/03 14:15
>>24
|a+bi| = sqrt(a^2 + b^2) だから、 a, b !∈ R ならば
絶対値も負になるんじゃねーの?

30 :132人目の素数さん:02/04/03 14:23
>>29
z=a+bi と書いたらa,bは実数じゃないか?

z∈C
i ; 虚数単位
Re(z) ; zの実部
Im(z) ; zの虚部
とすると、当然
Re(z)∈R,Im(z)∈R
であり
z=Re(z)+i Im(z)
と書ける。
|z|=√[{Re(z)}^2+{Im(z)}^2] ([]は√内)
だから
任意のz∈Cに対して|z|>=0となる。

これでいいんじゃないの。

31 :132人目の素数さん:02/04/03 14:50
>>29が面白すぎて我慢できない。

32 :132人目の素数さん:02/04/03 15:24
f(x)=0で
f(x_n)->0となる点列(x_nは収束しなくても良い)
があってもダメということでしょ。
x^xはそれを満たすかな?


33 :132人目の素数さん:02/04/03 16:29
>>29
君才能ないよ。とりあえずCを使うのは早すぎる。


34 :132人目の素数さん:02/04/03 16:34
そうだな。basic くらいにしとけ。

35 :132人目の素数さん:02/04/03 17:14
>>34
ワタラ

36 :132人目の素数さん:02/04/03 17:24
>>29
|a+bi|  (∵a, b !∈ R)

それってい○いの複ベク○ルじゃ・・・・ ^^;

37 :132人目の素数さん:02/04/03 22:41
>>23
絶対値って(一定の条件を満たす)0以上の実数への写像の事じゃないのか?

>>32
x_n=-nと置くと…。


38 :132人目の素数さん:02/04/04 02:57
>>32
x_nは収束しなくても良い ×

x_nは∞を含めて、ある点に収束する。○

でも、x^xは駄目ね。arg z_n=π/2を満たしながら∞に収束する
奴は、x^x->0だから。


39 :26:02/04/04 07:47
おおっ、見事に反例が挙げられている。なるほど。
>>1さんじゃないみたいだけれどアリガト。勉強になった。

じゃあ[ x^x^x=0 ]や[ x^x^2=0 ]ならばどうだろう。

40 :132人目の素数さん:02/04/04 18:01
>>36
確かに ^^;

41 ::02/04/06 01:41
x^xとかだと0^0の問題が出てきてしまうので、
この議論はこの議論で平行してやっていただくとして、
それとは別に新しく質問をしなおしたいと思います。

(1)関数y=f(x)が任意のxで連続の時、解無しの方程式f(x)=0は作れますか?
(2)関数y=f(x)が任意のxで微分可能の時、解無しの方程式f(x)=0は作れますか?


42 :132人目の素数さん:02/04/06 02:10
e^x

43 :132人目の素数さん:02/04/06 02:11
>>41
lim[x->0]x^x は、1に収束しますが何か?

44 :43:02/04/06 02:11
ちなみに最小値は1/eだぞ。

45 :132人目の素数さん:02/04/06 02:17
>>43
極限値のことじゃなくて x=1 で不連続であることをいってるんだろう、
それに多価関数にもなるしな。

条件は定義域すべてで連続であり、微分可能であること。
さらに定義域が複素数であること。

ついでに一価関数であるという条件も加えて良いか >>1

さらにきくが、 >>42 はどうなんだ?

46 :132人目の素数さん:02/04/06 02:17
>>41
定義域くらいは書こうね。話の流れから察するに x∈C を
想定しているんだろうけど。

47 :132人目の素数さん:02/04/06 02:32
>>1
∞が解であることの定義は、数列z_nで∞に収束し(任意のε>0に対して
有限個のnを除いてすべて|1/z_n|<εを満たす)かつf(z_n)->0と
なるものが存在することなの?
それとも、数列z_nが∞に収束すれば、必ずf(z_n)->0となること
なの?(∞での連続性)
この違い微妙なようで大きいから。


48 :画匠:02/04/06 02:41
方程式
x-不朽の英雄=0
の解は
宅間守です。

49 :132人目の素数さん:02/04/06 02:59
>>1 がこないので適当にまとめてみる。

問題:f(x)=0 が複素数の範囲で解を持たない関数 f を与えよ。

条件
1. f は定義域、値域ともに複素数である。
2. f は正則関数であり、特異点を持たない

さらに >>47 での質問があるので
前提条件
3-1.
絶対値が∞に発散する任意の数列 Z_n において
f(Z_n) → 0 (n → 0)ならば方程式 f=0 は解を持つとする。

3-2.
関数 f に対し、ある一つ以上の数列 Z_n が存在し、その数列が
|Z_n| → 0 (n → ∞) かつ、 f(Z_n) → 0 (n → 0)
であるならば方程式 f=0 は解を持つとする。

の二つの条件を区別しなくてはならない。

話の流れから考えると条件は 3-2 が適当であるようである。

ということで、前提条件 3-2 の下、条件 1 と 2 を満たすような
方程式を考える。。

で良いと思われるのだが・・・

50 :132人目の素数さん:02/04/06 03:02
>> 3-2.
>> 関数 f に対し、ある一つ以上の数列 Z_n が存在し、その数列が
>> |Z_n| → 0 (n → ∞) かつ、 f(Z_n) → 0 (n → 0)
>> 3-2.
>> 関数 f に対し、ある一つ以上の数列 Z_n が存在し、その数列が
>> |Z_n| → 0 (n → ∞) かつ、 f(Z_n) → 0 (n → 0)
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~
訂正

>> 3-2.
>> 関数 f に対し、ある一つ以上の数列 Z_n が存在し、その数列が
>> |Z_n| → ∞ (n → ∞) かつ、 f(Z_n) → 0 (n → 0)
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~

51 :132人目の素数さん:02/04/06 03:05
n->0
ワラタ)

52 :132人目の素数さん:02/04/06 03:08
>>51
すまん、そこも修正個所のようだ・・・
いわなくても分かるだろうから、修正しない。

53 :132人目の素数さん:02/04/06 03:19
>>27

54 :132人目の素数さん:02/04/06 16:31
ある方程式が解があるかないかをどうやって調べれるんですか?

55 :132人目の素数さん:02/04/06 16:54
>>54
どんな複素数を入れても方程式が成り立たない。

56 :132人目の素数さん:02/04/07 20:04
sincos(x^6+x^2+3)+100x^2+500x+1000=0
適当に作ったんですけど、解ありますか?


57 :132人目の素数さん:02/04/07 20:11
>>56
適当に答えるけど、解あります。

58 :132人目の素数さん:02/04/07 20:18
>>57
どうやってわかったんですか?


59 :132人目の素数さん:02/04/07 20:24
>>58
適当に答えただけです。

60 :132人目の素数さん:02/04/07 20:35
>sincos(x^6+x^2+3)+100x^2+500x+1000=0

これだと、実数解を持つかもしれない(x軸と交わる点があるかもしれない)
から
sincos(x^6+x^2+3)+100x^2+1000=0
これのほうがいいかな。
−1<sincos(x^6+x^2+3)<1 だから
左辺は常に0より大。
だからx軸に交わらない。
解を持つとしたら虚数解しかないわけだ。

61 :132人目の素数さん:02/04/07 20:41
>>60
xが実数値をとるときの100x^2+500x+1000の最小値を計算してみ。

62 :132人目の素数さん:02/04/07 20:53
100(x^2+5x+10)
100[(x+5/2)^2+(-25/4+10)]
100[(x+5/2)^2+3.75]

最小値は375か(w

63 :132人目の素数さん:02/04/07 21:36
で、虚数解あるの?

64 :132人目の素数さん:02/04/08 05:41
x^2 + 1 = 0 は虚数解 ±i を持つわけだが、
グラフ上ではx軸との交わりが見えないよな。

あたりまえだけどなんだかふしぎ・・・

65 :132人目の素数さん:02/04/08 05:42
複素数の世界で見たら、
x^2 + 1 = 0 のグラフはx軸で交わっているのか?

66 :132人目の素数さん:02/04/08 06:03
>>64
x軸との交わりとかいっちゃいかんだろが。
複素関数はC平面→C平面だからC上x^2+1のグラフは曲線ではない。

67 :132人目の素数さん:02/04/08 06:14
w=z^2+1とw=0の交わりがどうしても見たいのなら、
zの実数部分虚数部分をx,y軸で、そしてz軸に|w|を使うか、
もしくはプログラム組んで時間ごとにグラフ変わるようにして表現するとか、
まぁとにかく頑張れ

68 :132人目の素数さん:02/04/08 06:20
>>67
>z軸に|w|を使う
この際 | | ; C → C が連続であることの有り難味が分かる。

69 :132人目の素数さん:02/04/08 06:22
間違った
| | : C → R^+

70 ::02/04/09 00:36
>>49
まとめてくれてありがとうございます。
>>56
>sincos(x^6+x^2+3)+100x^2+500x+1000=0
この方程式に解があるかどうかの調べ方ってあるんでしょうか?


71 :132人目の素数さん:02/04/09 06:30
質問してばっかりだね。
少なくとも複素関数としてのsin,cosぐらいは調べて来てる、はずだよね。

72 :132人目の素数さん:02/04/09 09:07
exp(x)=0の解は存在しない

73 :132人目の素数さん:02/04/09 09:30
ループの予感(w

74 :49:02/04/09 16:04
>>72
どうやら、そのようには考えないらしい。
無限列 A(n) = -n という列を考え
exp(A(n)) → 0 になるので、
exp(x) = 0 は解を持つというのが >>1 の考えの模様。

75 :72:02/04/09 17:10
スマソ >>7にあったのね

>>74だけど、それって複素関数論の考え方と違うね。
だって、複素数では、無限遠点は一つでしょ。

無限遠へのある近づき方だと0に近づくけど、
別のちかづきかたでは限りなく大きくなるし
また別の近づき方では、絶対値1の円のまわり
をくるくる回ってしまう。

複素関数論では、0はexp(z)の除外値といっている。

76 :132人目の素数さん:02/04/09 17:37
解を持つようにexp_R(z)=exp(z_R)という風に拡張してしまっても医院だろうけどね。

77 ::02/04/10 19:07

Σn=−1
n=1


こういうのはダメだけど


Σf(x_n)=−1
n=1

こういう使い方ならシグマを使ってもいいです。
以前シグマを禁止しましたが、文字xがシグマの上に乗っていなければ使ってもいいです。

階乗も以前禁止しましたが、
x!=−1
のような使い方はダメですが、文字xと!をくっつけない使い方なら、使っても良いです。
sinx+3!=0
のような使い方なら階乗も使っていいです。

78 ::02/04/10 19:23

Σf(x_n)=−1
n=1

間違えました。これじゃあ方程式になってないですね。
ようするにシグマと階乗を禁止したら
テイラー展開もダメっていう話になってしまうので、
テイラー展開はOKということが言いたかったんです。

79 :132人目の素数さん:02/04/10 19:31
>>78
で、さぁ。せっかく49がまとめてるのに、なんで
わざわざアホな事言いに戻ってきたわけ?

80 ::02/04/10 19:39
僕は以前シグマと階乗は禁止しました。
しかし、話が進むにつれ、方針を変えることになったわけですから
一応書いておくべきだと思ったからです。

81 :132人目の素数さん:02/04/10 20:01
>>80
1よ。君はもう用無しだから書き込むな。
おとなしくROMしてれ

82 :132人目の素数さん:02/04/10 20:08
>>81
禿道。

>>1ハ(・∀・)カエレ!

83 :132人目の素数さん:02/04/10 22:09
>>80
もうそんな低レベルの話はしてないわけ。わかる?

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