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代数学総合スレッド

1 :132人目の素数さん:02/01/20 23:17
代数の話題が多いからスレを立てようという話になって、問題スレから分離独立しました。
代数に関する話題全般のスレッドです。

2 :132人目の素数さん:02/01/20 23:18
有限な非可換体って存在しないのでしょうか?



3 :132人目の素数さん:02/01/20 23:31
スピノルって何ですか?

4 :132人目の素数さん:02/01/21 00:43
>>3
僕も知りたい
深谷先生が授業でちょろっと言ってたけどよく分からなかった

5 :132人目の素数さん:02/01/21 01:54
数学専攻じゃないんでよく知らないのです。
ネタじゃないので教えてください。

群・環・体をそれぞれ簡単に言うと何でしょうか?
まずはイメージから入りたいと思います。

6 :132人目の素数さん:02/01/21 08:21
実数から実線形空間,実線形空間から実計量線形空間が作れるように,
群・環・体はこの順に拡張になっています.

群・環・体の例をあげるとそれぞれは
掛け算を考えない整数・整数・有理数に相当します.
これらは可能な演算が拡張されていると考えることができます.
掛け算を考えない整数・整数・有理数では
それぞれ,加減算,乗算と加減算,加減乗除を考えることができます.

代数は整数の因数分解などの具体的と考えている数の集合の特徴を抽出して,
抽象的な対象として再構成し,普遍的な定理を得ようとする学問といえます.

句読点は,と.がいいよね.結構数学版にはこのタイプがいる.

7 :まおまお:02/01/21 09:32
>>2
有限体は可換だよー。

8 :132人目の素数さん:02/01/21 09:33
ファンデルヴェルデン(ファン・デル・ヴェルデンだっけ?)の現代代数学
(ぎんばやし訳)って,たくさんいろんなことが書いてて良いんだけど,
でも,もうちょっと現代的な本で学びたくならない?
ファンデルヴェルデンのように,たくさん書いてないけど,しょうかぼうの
堀田良之著の代数入門だったかな,あの本良かったな。
皆さんはどういう本が良かったですか


9 :132人目の素数さん:02/01/21 11:33
Serge Lang "Algebra"

10 :132人目の素数さん:02/01/21 20:47
べき零群って何に使うの?学ぶ必要性を全然感じないんだけど

11 :aho:02/01/21 20:52
>>3 >>4 0の平方根.

12 :aho:02/01/21 20:56
>>8 しょうかぼうの代数入門だって大概古いよー.何がいいだろ?現代数学の基礎の「環と体」あたりはベタかな.
>>10 そのうち使うんじゃない?

13 :132人目の素数さん:02/01/21 21:19
>群・環・体をそれぞれ簡単に言うと何でしょうか?

どうでも良いけど名前の由来が気になりません?
ちなみに体はドイツ語の訳だそうです。
fieldで、「野」でもいいのにね。ベクトル解析や物理の「field」は「場」だから混同しないと思うけど。



14 ::02/01/21 21:21
>>7
>有限体は可換だよー。

ありがとうございます。自力で証明してみようと思います。難しいようでしたら止めてください。あきらめて参考文献見ますので

15 ::02/01/21 21:50
遅まきながら、読ませていただきました。
お答えいただいたみなさま、どうもありがとうございました。

私も頑張って勉強します。

16 :132人目の素数さん:02/01/21 23:59
>>12
入門的でいいなら、しょうかぼうの代数概論 森田康夫著が
コンパクトにまとまっていていいよ。

17 :132人目の素数さん:02/01/22 00:00
おお、新しげなスレ。
さくらスレでも質問したのですが、お答えをいただけなくて・・・。
1.MとNがKのガロア拡大ならば、合成体MNもKのガロア拡大。
2.MはKのガロア拡大、NはKの有限次拡大。(但し、K=L∩M)このとき
[MN:K]=[M:K][N:K]
どなたかよろしくおねがいします。

18 :132人目の素数さん:02/01/22 00:18
本見たら書いてあると思うんだけど…ダメ?

19 :132人目の素数さん:02/01/22 09:53
>>17
じゃぁ,その命題に関して分かってることをいってみてください.
定義とか

20 :132人目の素数さん:02/01/22 10:03
>>16
>コンパクト
とかいうと,
ほんとは分かってんだけど,「ハァ?コンパクト?」
とかいって絡み付いてくるのがいるので注意!
(今の俺か?)

21 :まおまお:02/01/22 11:52
>>14
挫折したら、永尾先生の教科書読むよろし。

ところでこのスレ、定着すると良いですね。
いや、変てこなスレの方が、何やら妙な勢いがあったり
するもんだから‥‥‥(^^;

22 :14:02/01/22 17:17
>>21
>挫折したら、永尾先生の教科書読むよろし。

既に挫折しそうな予感が。岩波でしたっけ?


ところでこのスレ、定着すると良いですね。
いや、変てこなスレの方が、何やら妙な勢いがあったり
するもんだから‥‥‥(^^;



23 :132人目の素数さん:02/01/22 17:22
>>22
挫折すんなよ。ドキュソが。

ところでこのスレ、定着すると良いですね。
いや、変てこなスレの方が、何やら妙な勢いがあったり
するもんだから‥‥‥(^^;



24 :20:02/01/22 21:57
>挫折すんなよ。ドキュソが。

明日もう一度考えてみて出来なければ、本を見ます。

25 :132人目の素数さん:02/01/22 22:09
しょうかぼうの代数概論 森田康夫著
がいい本だとは、とても思えない。

26 ::02/01/22 22:15
理由を述べよ。


27 :132人目の素数さん:02/01/22 22:40
25じゃないけどいま研究室の机のうえにあるよ。
あっさりしすぎ。数学科の人とか、すでに代数学を学んだ人が
知識を整理するために読む本なのではないかと思う。工学部の
俺には、一つ一つの問いや(FIve-lemmaとか)、定義が
well-definedかどうかとか確かめるのに時間がかかってしまう。

同じ出版社の佐武線型代数学は、一度勉強してから読んでみたら
俺でも意外にすんなり読めました。わかりにくいところは
堀田良之「代数入門・群と加群」でカバーしつつ。

28 :132人目の素数さん:02/01/22 22:57
>永尾先生の教科書

朝倉書店の代数学は初心者にはお勧めできません。途中できっと挫折します。
初心者にはPrentice Hallから出ているArtinのAlgebraをお勧めします。


29 :132人目の素数さん:02/01/22 23:42
>堀田良之「代数入門・群と加群」

線形代数しか知らない状態でこの本を読んだけど、
環や加群の基礎が分かりやすく学べて非常にためになった。
(5章「ワイル代数とその加群」はパスしたが)
この本を読み終えたあと環の基本事項をもっと知りたいと思い
書店の数学書コーナーで環論の本を探していると、
それっぽいタイトルの永田「可換環論」が目についたので早速購入した。
泣いた。

30 :132人目の素数さん:02/01/23 00:23
あまりの素晴らしさに感動して泣いた…んだと思う。多分。

31 :132人目の素数さん:02/01/23 00:46
ほう

32 :132人目の素数さん:02/01/23 00:46
なんかイゴゴチいいね,ここ

33 :教えてください。:02/01/23 00:56
アルティン環(任意のイデアルの降鎖列は有限で停止する)ならば
ネーター環(任意のイデアルの昇鎖列は有限で停止する)
の証明がわかりません。

わからないページは
岩波、堀田、環と体1、60ページ1〜4行目のところです。
または共立、松村、可換環論、20ページ下から5行目です。
割ったのが有限次元ベクトル空間になるところと
そこからネーターが出るところがわかりません。

34 :132人目の素数さん:02/01/23 01:17
>>27
同感。既に知っている人には読めるが、初めての人には読めない。
始めはまあまあだが、途中で議論にギャップがある。
これを読んで分からなくても、あなたが悪いのではない(ウチの学生に読ませてわかった)。


35 :132人目の素数さん:02/01/23 10:04
岩波基礎数学  「環と加群」 山崎 
が良かった。あと最近のでは共立の 「環と体の理論」。
シュプリンガーの「代数学とはなにか」が今面白いので読み始めたとこ。

36 :132人目の素数さん:02/01/23 10:36
今,Serge Langの現代の解析学(確か原書題はReal Analysisだったと思う。)は
今読んでて,そのモダンなとこがすごくイイんだけど,(それでももう古い部類
なのかな?)>>9さんのいう"Algebra"はどうですか。


37 :教えてください。:02/01/23 15:28
33です。教えてもらえないのでさくらたんのほうに期待します。

38 :132人目の素数さん:02/01/23 22:20
ところで、Qの代数閉体の濃度は可算だったっけ?
だれかわかる?

39 : :02/01/23 22:39
可算に決まってるだろ。
工夫して考えれ

40 :132人目の素数さん:02/01/23 22:44
>>33

可算です。Qの代数閉体=複素数の中の整数係数多項式の解となるもの全体
整数係数多項式は可算個だから

41 :132人目の素数さん :02/01/23 22:51
>>29
堀田良之「代数入門・群と加群」
この本で挫折した漏れは逝って良しですか?

42 :132人目の素数さん:02/01/23 22:53
代数の本は例が豊富であって欲しい


43 :132人目の素数さん:02/01/23 23:25
>>40

O.K.です。
「Qの代数閉体=複素数の中の整数係数多項式の解となるもの全体」
は少し考えこんだが、代数拡大の概念をもちだせば、
「整数係数多項式の解となるもの全体」が体となること、および、
整数係数多項式の解となるものを係数とする方程式の解も有限次拡大でかける、
ということでいいんだよね。


44 :40:02/01/24 00:00
>>43
代数的閉体の存在証明をツォルンのレンマを使って作るやり方があいまいだったので、微妙な問題を避けるためにあらかじめ代数学の基本定理が成り立っている複素数体を持ってきて、代数的整数だけを選び取るとしたまでですので、深い意味はないので気にしないでください。

K係数の多項式が常にK係数の1次式の積に分解できる最小の拡大体をFとすれば、
Fは代数的閉体

F[x]∋f(x)=b0+b1x+・・・+bnx^n
K⊂K(b0,b1,,,,bn)=L⊂F
Kへのb0,b1,,,,bnの付加は代数拡大
Lを拡大してf(x)が1次式の積に分解できるようにする。
このLの拡大体をMとする。
KからLへの拡大は代数的元を有限個付加するから有限次拡大
LからMへの拡大は代数的元を有限個付加するから有限次拡大

よって、KからMへの拡大も有限次拡大、だから代数的拡大
よってM⊂F


45 :132人目の素数さん:02/01/24 02:35
永田・吉田「代数学」はどう?

46 :132人目の素数さん:02/01/24 04:12
>>41
私もその本で挫折しました。
といっても、私は電子工学科生ですが(w

47 :132人目の素数さん:02/01/24 04:20
>>41
の本はいい本やと思うよ.
数学の道をとるなら絶対挫折したらあかんところやけど、
数学系でないなら、もっと簡単な本からステップアップしてったら
いいんちゃう?

48 :132人目の素数さん:02/01/24 16:51
薄くて話題が豊富な本はやはりキツイと思う。

49 :132人目の素数さん:02/01/24 18:32
その通り。買ってから気付く(死

50 :132人目の素数さん:02/01/24 18:59
>>48
行間自分で埋めなあかんからね.
でも埋めれると力が付くのは間違いない.
でも力がないと埋めれない。。。微妙だ(笑)

51 :132人目の素数さん:02/01/24 23:26
表現論の参考書(初学者向けの奴)でお薦めなのはありますか?

52 :132人目の素数さん:02/01/25 00:14
Artin環でない半単純環の例ってどんなん?

53 :132人目の素数さん:02/01/25 01:19
佐武の「代数学への誘い」ってどうよ

54 :2:02/01/25 01:43
非可換な有限体が存在しない証明は自力で出来ませんでした。参考文献を探してみます

疑問、非可換体で標数が0以外のものがあるのか?
そもそも4元数体から派生する体以外の非可換体ってあるのか?



55 :132人目の素数さん:02/01/25 13:56
>>54
確か、Basic Number Theory の最初の方に載ってた気がする.

56 :132人目の素数さん:02/01/25 14:17
>>54
そのような体の存在は実は類体論とも関わる
深い部分がある.

57 :132人目の素数さん:02/01/25 16:01
超初心者。。。の質問。。。
体って可換じゃないの??
定義忘れた。。

58 :132人目の素数さん:02/01/25 16:09
>>57

「動物」に人間を含めたり含めなかったりするようなもので、文脈で違うと思う。

0以外は逆元を持つのを「体」、可換なら「可換体」と定義したものの、実際に扱うのはほとんど「可換体」だから、体=可換体となって、一般的な体は「斜体」、非可換なのは「非可換体」になったということでしょうか?

59 :もうすぐ卒業の数学科の学生:02/01/25 18:59
>>58
可換環で0以外の元が全て可逆元なら「体」で、
非可換環で0以外の元が全て可逆元なら「斜体」
って認識してたんだけど…。
だから体っていったら絶対可換だと思ってたんだけど
まさか違ったのか?
一応代数専門だったのに代数さっぱりわからん。

60 :132人目の素数さん:02/01/25 19:03
定義は人によっても状況によっても異なるよ.
今のは文脈で可換とは限らない体を表わしていることは
明白だ.

61 :132人目の素数さん:02/01/25 19:04
英語ではどうなんだ
斜体ってdivision algebraだっけ?

62 :132人目の素数さん:02/01/25 19:17
>英語ではどうなんだ
>斜体ってdivision algebraだっけ?

skew field

定義は0以外が逆元を持つ整域だから、可換、非可換を含めた一般的な概念。



63 :132人目の素数さん:02/01/25 19:20
アルティンだかの本で斜体係数の連立一次方程式に関してちょこっとかいてあるな。可換体の行列にみなれてたから、最初はなんでこんなややこしいことするのかと不思議だったが、行列のランクや行列式って、体が可換であることを前提にした概念だから使えないんだよね。

64 :同じく卒業間際4回(院逝く):02/01/25 21:55
>>59
 おまえ何やってんだよー?!ちゃんと勉強してたんか?
まさか・・・・代数やってて"jordan標準形"知らないなんて言い出さないよなー。
・・・っていいたいけど。まっ、同期ということでちょっと親近感持ってます(^^;;)。

 ・・・で、卒業後どうすんのよ(^^)?俺、院逝くけどさぁ。 

65 :132人目の素数さん:02/01/26 16:25
直積群の単数群は単数群の直積になりますか?

66 :訂正:02/01/26 16:32
×直積群の単数群
○直積環の単数群

67 :132人目の素数さん:02/01/26 16:49
直積環の単位元は各因子の単位元を並べたものだから、
その単数群は各因子の単数群の直積

68 :65:02/01/26 17:16
あっそうか。くだらない質問でスマソ

69 :132人目の素数さん:02/01/26 17:16
俺集合と位相の講義取らなくて代数入門取ったけどマジで意味判らん。
良く単位落さなかったと思う。
友達はあんなのやらなくても理解できるとかほざいてたが・・・

70 :だれか一緒に読みませんか:02/01/26 18:47
環と体1です。わからない所を質問しあえると早くおわると思うのですが。
どなたかいませんか。

71 :132人目の素数さん:02/01/26 18:59
>>70
内容書いてYO

72 :132人目の素数さん:02/01/26 19:08
問題:有理関数f,g∈C(x)が f^n + g^n = 1(n≧3)
を満たすのはf,gともに定数であるときに限る.

種数とか使わないで初等的に証明できるらしいんだけど
誰か知ってますか?

73 :132人目の素数さん:02/01/26 22:36
nが3以上のとき、複素多項式 f,g,h について f,g が互いに素で f^n+g^n=h^n
ならば f,g は定数であることを示せばよい。 w を1の原始n乗根とすると

(f+g)(f+gw)・・・(f+gw^(n-1))=h^n。

ここで f,g が互いに素としているから左辺の各因数は二つずつ互いに素。
よって各kについて f+gw^k=(h_k)^n と書ける。 ここで
 
  f+g=(h_0)^n, f+gw=(h_1)^n, f+gw^2=(h_2)^n

から f,g を消去すれば

(c_0)(h_0)^n+(c_1)(h_1)^n = (h_2)^n (c_0,c_1 はゼロでない定数)

の形の関係式が得られる。 f,g の少なくとも一方が定数でなければ h_0,h_1
の少なくとも一方は定数でなく、しかも次数は f,g の次数より下がる。
定数倍は h_0,h_1 の中に繰り込めるから、あとは「無限降下法」で行くと思う。

74 :73:02/01/26 23:00
訂正
移行して f^n-g^n=h^n に直す。
後は対応してプラスをマイナスにしていけば同じ。。。
たとえば (f+g)(f+gw)・・・(f+gw^(n-1))=h^n は
(f-g)(f-gw)・・・(f-gw^(n-1))=h^n に直すなど。


75 :132人目の素数さん:02/01/26 23:32
>>69
友達の言うとおりだと思うが。
それにしても代数だけは好きになれん。

76 :132人目の素数さん:02/01/26 23:35
>>75整数論の入門書を読んでみ。何故かは読めば分かる。

77 :132人目の素数さん:02/01/26 23:35
位相は必要ないが、集合は少し必要かな?って感じ

78 :132人目の素数さん:02/01/26 23:54
位相と代数って、アプローチが全く違うって感じ。
代数だとQは整数環の商体と定義するから、「距離」概念がない。
2/3は、「3を掛けると2になる元」という意味で、それは「6を掛けると4になる元」とイコールにはなるが、
納k=1〜∞]6*(1/10)^kと一致するかどうか知ったこっちゃない、って感じ。
√2は「2乗したら2になる元」という意味だから、Qに√2を付加した代数拡大を考えた時、√2を−√2に置き換えても何の不都合もない。
1.4と1.5の間にあるかどうかなんて、関係ない、
といった感じです。
だから代数的に実数を作ることは出来ないし、代数学の基本定理は名前とは裏腹に代数的に証明できない。

79 ::02/01/26 23:58
アホな書き込みするなよ(ワラ
有害だぞ。


80 :132人目の素数さん:02/01/27 00:28
そだなー

81 :132人目の素数さん:02/01/27 01:06
僕も代数は好きで解析はあんま好きとちゃうけど、
>>78
はあかんやろ.
代数でも位相は余裕で使うし、というか分けてる時点で、あんまよく
ないと思うし.

82 :132人目の素数さん:02/01/27 01:45
代数でもざりすき位相ってやつでてくるよ。
知り合いは代数ゼミだけど位相群てやつ勉強してて
位相やら解析やら普通に使うって言ってた。
おいらは代数を少し知ってるだけ。
他はほとんどできない。。。
が、来年度から院、どうなるんだろ


83 :もうすぐ卒業の数学科の学生:02/01/27 02:25
>>64
もち、就職です(w
はぁ、数学って難しいなぁ…。

84 :132人目の素数さん:02/01/27 03:08
>>81
>>78は代数と位相を分けてるというか、両者は独立の概念だと言ってるだけでしょ?
別にそう変なことは言ってないじゃん。
Qは純粋に代数的な対象だからこそ、いろいろ異なる位相を入れて
考察することができるわけで。

85 :132人目の素数さん :02/01/27 10:01
スレの上の方にも出てたけど、
http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/038795385X/
この本どうなんでしょうか?高校の時数学好きだった文系なんだけど、
大学でやるような代数の基礎を一通り学べるのかな?

86 :132人目の素数さん:02/01/27 16:48
俺も代数に興味はあるんだが未だ好きになれない。
整数論の最初の方読めば解るって言うけど初等整数論ぐらいしか理解できんし。
もっぱら今は複素解析と解析学Kを攻めてるが結構道が狭まってくるような気がする。
ま、3年でも代数入門取れるし(取るかどうかは怪しい)良いか。

87 :環と体1を読んだ人や:02/01/27 16:52
読みたい人いませんか?あと少しで5章まできました。
わからないところを質問しあって進めませんか。

88 :環と体1とは:02/01/27 16:56
岩波講座現代数学の基礎
環と体1 可換環論
堀田良之 著
のことです。

89 :132人目の素数さん:02/01/27 22:37
>読みたい人いませんか?あと少しで5章まできました。
>わからないところを質問しあって進めませんか。

今、違う本読んでるけど、こう言う具合にここで自主ゼミ見たいの出来ないかとふと夢想した。
社会に出ると数学の話が出来る人など皆無に等しいから、ネットやるまでは、分からなくても一人で悩むしかなかった。


90 :132人目の素数さん:02/01/27 22:39
>>84
>Qは純粋に代数的な対象だからこそ、いろいろ異なる位相を入れて
>考察することができるわけで。

詳しくは知らんがP進体なんかがその例だと思う


91 :132人目の素数さん:02/01/27 22:42
私も環と体1、読みたいです。
試験が終わったら読もうと思って買ってあるのですが。


92 :132人目の素数さん:02/01/27 22:47
>>84
そういう解釈なら理解できないこともないけど、
代数は数学の一分野(なんかそれも表現がおかしいが)だが、位相はその
道具みたいなイメージしかない.
位相のみの研究してる人とかいるんですか?


93 :132人目の素数さん:02/01/27 22:51
いるよ

94 :132人目の素数さん:02/01/27 22:53
>>88
1回読んだし、分からないところを言ってくれれば考えますよ.
(後半は怪しいねんけど、僕も勉強になるしね)

>>90
Qの付値による距離づけは、素数の分と、普通の絶対値の分とがある.

95 :132人目の素数さん:02/01/27 23:03
>>92
>位相のみの研究してる人とかいるんですか?

「ジェネ・トポ」=ジェネラル・トポロジーて言ってたけど、そういう専門分野はあると思うが。

優劣の問題じゃないんだが、私の印象として、整数論や解析・幾何、などに対して、代数・位相・測度論などは「道具」というか、前者を抽象化したイメージがあるが。
集合論など基礎論はまた別個という感じ。

96 :132人目の素数さん:02/01/28 00:13
>>95
そういう分野があるんですね。。。それは知らんかった.

97 :  :02/01/28 00:49
新妻・木村の「群・環・体」ってどうですか??

98 :132人目の素数さん:02/01/28 01:03
>>97
聞いた事ないけど、それを一まとめにしてるってのは、浅く広く、って
言う本なんかな?

99 :132人目の素数さん:02/01/28 01:54
95はアホっぽいな・・

100 :132人目の素数さん:02/01/28 02:02
100!

101 :132人目の素数さん:02/01/28 13:38
>>91
付き合うよ

102 :教えてください環と体1p75命題4.15です:02/01/28 17:30
B:A上有限生成代数(f:A→Bが与えられているとする)
このときψ:SpecB→SpecA( q→f^-1(q) )のファイバーは有限
(⇔任意のp∈SpecAに対しψ^-1(p)は有限集合)

証明の一番最初のψ^-1(p)≡Spec(k(p)*B)がわかりません。
(ただしk(p)は整域A/pの商体とし
k(p)*BはA加群としてのテンソル積に自然な積を定めた環)

ここからは自分で考えたことです。
Bからk(p)*Bへの写像πを ( x→1*x )としてこれから決まる
写像Spec(k(p)*B)→SpecBをτとする。τ単射がいえるので
τ:Spec(k(p)*B)→ψ^-1(p)⊂SpecBが全射をいえば終わり。
q∈ψ^-1(p)に対し、Q∈Spec(k(p)*B)を{1*x|x∈q}から
生成されるイデアルとするとτ(Q)=q になる?これは全射を表す。
τ(Q)⊃qは自明で逆がうまくいえません。
あと多分、後では有限生成の仮定なしにこの同型を使っているので有限生成はいらないと思います。

103 :102は解決しました。:02/01/28 18:58
証明の書いてあるほんがありました。
松村英之著 可換環論 (共立出版)P57です。
全単射よりつよく位相同型になります。

104 :72:02/01/28 19:11
>>73-74
ありがとうございました.
速っ!

105 :132人目の素数さん:02/01/28 20:15
>>102
それは代数幾何のスキームのproductと関係ある事.
環と体1はそうでもないけど、松村英之著の可換環論は
代数幾何を目標に書いてる感が強いと思う.
(比較的ね)

その調子で頑張れ〜〜

106 :132人目の素数さん:02/01/30 01:56
位数12の群を全て求めよっていう問題なんですがどうやればいいんですか?

107 :132人目の素数さん:02/01/30 02:01
シロー2群、シロー3群をうまく使う。
可換なのが2個、非可換なのが3個ある。

108 :132人目の素数さん:02/01/30 02:05
>>107
シローの定理書いてあるサイトないですか??
いま手元にノートも教科書もないし頭の中にも入ってないものですみません。。

109 :132人目の素数さん:02/01/30 02:09
Gは有限群とし、|G|=pms (ただし、(p,s)=1 pは素数)) と
する。そのとき、次が成立する。まとめてシローの定理と呼ぶ。

 [1] Gは|H|=pmとなる部分群Hを必ず1つは持つ。
     この部分群をGのpシロー部分群という。
 [2] しかも、与えたpに対するpシロー部分群はすべて共役。
 [3] さらに、pシロー部分群の個数は、k≧0として1+kpと
     表示できて、さらにこれは|G|の約数になる。


これかな??

110 :132人目の素数さん:02/01/30 02:10
pmってのはp^mってこと。

111 :132人目の素数さん:02/01/30 02:24
>>110
そうやね(109じゃないけど)

112 :132人目の素数さん:02/01/30 02:31
位数12の群をもとめるにははシローの定理を使うの??

113 :132人目の素数さん:02/01/30 03:22
位数12のモノイドを全て求めよっていう問題なんですがどうやれば
・・・2chには荷が重そうなのでやっぱりいいです。


114 :132人目の素数さん:02/01/30 03:34
君、ボランティアって言葉知ってる?もう来なくていいよ。

115 :112:02/01/30 04:10
いや、まじでわからないす・・

116 :132人目の素数さん:02/01/30 09:08
本屋で可換環論の本の序文を読むと,たいていホモロジー代数的(って言い方だっ
たかな?)アプローチは割愛したとか書いてるんですけど,そっち方面の事よく書
いてある本(または文献)で良い本知っている人いましたら教えていただけません
でしょうか。


117 :132人目の素数さん:02/01/30 09:53
>>114
同感。113は質問してるのか煽ってるのか…

118 :132人目の素数さん:02/01/30 13:13
>>85
君にはまだ早すぎます。
その前に他の本で学ぶべきことが沢山あります。

119 :132人目の素数さん :02/01/30 14:29
Cartan-Eillenberg 「Homological algebra」>>116


120 :132人目の素数さん:02/01/30 15:58
>>119
ありがとうございます。


121 :132人目の素数さん:02/01/30 22:59
B.L.van der Waerden[Algebra]、独学中です。

Exercises 6.17
If f(x) is irreducible in the field K,then in a normal extension field all prime factors off(x) are of the same degree,and are conjugate with respect to K.

これを証明せよって問題なんだけど、
are conjugate with respect to K.
とあるけど、g(x),h(x):Kの正規拡大体の多項式 が共役というのは
Kの正規拡大体の自己同型写像σが存在して、それはKの元に対しては恒等写像で、
g(x)の各係数にσを作用させると、h(x)になる、

という理解でよろしいんでしょうか?

122 :112:02/01/31 01:18
113は僕の書き込みではないです。
112をどなたか教えてくれませんか?

123 :132人目の素数さん:02/02/01 16:55
位数12の群はシロー2部分群とシロー3部分群の半直積になってる。
そこで位数3の群と位数4の群の半直積を全部しらべる。

124 :132人目の素数さん:02/02/01 17:36
>位数12の群はシロー2部分群とシロー3部分群の半直積になってる。

そりゃーそれが分かればすぐなんだけど。
2-Sylow群or3-Sylow群がnormalだってことはそう簡単に出る?

125 :2:02/02/01 18:18
有限斜体は可換体、

今日図書館に逝って代数関係の本を見たけど、それらしいのは見つかりませんでした。
自力での証明も無理です。

誰か証明、か、それが載ってるサイト、教えてください。


126 :132人目の素数さん:02/02/01 18:42
73の証明あってるんか?

127 :132人目の素数さん:02/02/01 20:13
>>124
>2-Sylow群or3-Sylow群がnormalだってことはそう簡単に出る?

シローの定理使えば簡単

128 :132人目の素数さん:02/02/01 20:49
3-Sylow群が4個あれば位数3の元が8個あることになり
残りは 12−8=4 で4個。
よってこのとき2-Sylow群は1個しかないので正規部分群。

129 :132人目の素数さん:02/02/02 00:07
>>125
たとえば藤崎源二郎「体とGalois理論」第2章第8節に、ヴィットによる証明が
のってます。
問題の斜体の乗法群において群論の類方程式(共役類の元の個数を合計する等式)
を考え、可換体でないと仮定して円分多項式を用いて矛盾を出す、というもの。

130 :2:02/02/02 22:20
>>129
どうもありがとうございます。
予備知識が必要見たいですね。自力で証明するなとというのは無謀でした。

131 :132人目の素数さん:02/02/02 22:26
位数12の群は可換2つ、非可換3つだよね
位数16の群ってどれくらいあるの?

132 :132人目の素数さん:02/02/03 04:24
>堀田良之「環と体1 可換環論」岩波講座 現代数学の基礎

結局何人参加するんでしょうか?
適当なHNで意思表明してもらえると確認しやすいんですが。

確認次第、そろそろ順番に始めましょう。


133 :132人目の素数さん:02/02/03 04:34
Q(√3)ってどう考えても体ですよね?
この類数を求めよ、って問題があったのですが、
類数ってなんのことか教えてくれませんか?

134 :132人目の素数さん:02/02/03 05:07
>>131
ぜんぶで14個あるらしい。こんどはSylowの定理は使えない。どおすんだろね。

135 :132人目の素数さん:02/02/03 05:24
可換環RのWitt vectorの群 W(R) って何?
数行で説明することが難しければ定義の載ってる文献とか教えて。
(独学中なので、できればネット上か書店で入手可能な文献を)

136 :132人目の素数さん:02/02/03 05:46
そういえば「知の創造(3)」とかいう本にコンピュータで
位数1000までの群は何個あるか調べるとかいうのが書いてあったんだけど、
位数512=2^8と768=2^7*3だけはまだわからないとか。
すごい数になるらしよ。よく知らないんだけどね。

137 :132人目の素数さん:02/02/03 06:10
>>136
位数512の群10494213個。
位数768の群1090235個。


138 :132人目の素数さん:02/02/03 22:28
>>133
分数イデアルのなす群を単項イデアルで割ったものが、イデアル類群.
その位数が類数.

もしくは、
(Ka^*)1をイデール類群のノルム1の部分群としたときの、(Ka^*)1/K^*の位数.

139 :132人目の素数さん:02/02/03 22:30
>>138
あ、Okの分数イデアルってことね(dedekind環  K=Q(√3))

140 :133:02/02/04 21:14
139
ほんと無知で申し訳ないですけど分数イデアルって何ですか?
なんとなく指数みたいなもんだ、というのはわかるのですが。
実は代数ほんの少しかじったぐらいの知識しかないです。

141 :132人目の素数さん:02/02/05 00:07
>>140
分数イデアルの定義はいろいろあるけど、Rを整域として
Rの分数イデアルI⇔あるRの元cがあり、cI⊂R

例えばZの分数イデアルは、(Zは単項イデアル)なので、aZ (a∈Q)

dedekind domailは素イデアル分解ができるような整域
(つまり任意のイデアルI はI=p1^a1*p2^a2*…*pn^an と一意的に表せる)
(ここで、ai≧0のものが「イデアル」でai<0も許すのが「分数イデアル」
 という結果になる)

この分数イデアルのなす集合(から(0)を除くもの)をFI(R)とする.
このとき、FI(R)はp1等からなる自由加群となる事がする分かる.
また、単項イデアル(a)は常にFI(R)の元を定義する(a∈Q)
このイデアルの集合も群になる、これをPI(R)とする.

イデアル類群は、FI(R)/PI(R)でこの位数が類数.

やけど、それだけで求めるのは大変.
ミンコフスキーの定理(やっけ?)、
or ゼータ関数の利用が類数求めるだけなら、便利.

142 :小林緑:02/02/05 00:28
>>132

本を読むんですか?
工学部2年です。宣しくおねがいします。
あした、借りてきます。


143 :@炬燵:02/02/05 01:34
>>132
じゃぁ、こんなHNで.

144 :132人目の素数さん:02/02/06 05:50
位数が22の群を求めよって問題なんですが。。。
テストの回答を書くようにわかりやすくレスしてくれたらうれしいのですが。。

145 :132人目の素数さん:02/02/06 06:16
>>144
それは11-Sylow群が正規部分群だから、氏ぬほど易しい。

146 :144:02/02/06 15:05
>>145
11-Sylow群が正規部分群
というのはわかりますが
そのあとがわからないです。。


147 :144:02/02/06 16:21
これでいいの??
添削お願いします。

Gを位数22の群とする。
シローの定理から
シロー2−部分郡Hの個数は1個または5個
シロー11−部分郡kの個数は1個

シロー2−部分郡Hの個数が1個
シロー11−部分郡Kの個数が1個の場合

H∩KはHの部分群だから
H∩Kの位数はHの位数(=2)を割り切りかつ
H∩KはKの部分群だから
H∩Kの位数はHの位数(=11)を割り切る
従ってH∩K={e}

またHKはGの部分群であり
HはHKの部分群 HKの位数は2で割り切れ
KhaHKの部分群 HKの位数は11で割り切れるから
HKの位数は22
従ってG=HK

よってG=H×K=Z(2)×Z(11)=Z(22)


148 :144:02/02/06 16:22
シロー2−部分郡Hの個数が5個
シロー11−部分郡Kの個数が1個の場合

H、Kは巡回群よりH=<x>、K=<y>とかける。
(x^2=e、y^11=e)
KはGの正規部分群だから
xyx^(−1)=y^i (i=0,1・・・10) とかける。

y=x^2yx^(−2)=y^(i^2)
だからi^2−1は11で割り切れる
i=1、10

i=1の時はさっきの議論と同じで位数22の巡回群
i=10時はxy=y^(10)x
このときは
G=<x、y>
x^2=e、y^11=e
xy=y^(10)x


149 :132人目の素数さん:02/02/06 16:36
本を読んでいたら
「{p、p、p、p}型の可換群」ってことばが出てきたんですが
どういう意味でしょうか??

150 :132人目の素数さん:02/02/06 17:55
>>149
Z/p×Z/p×Z/p×Z/p って事ちゃうかな?

151 :132人目の素数さん:02/02/07 00:55
ブルバキだったら位相より代数と。

152 :132人目の素数さん:02/02/07 03:32
>>144
>>147は要らないでしょ。11-Sylow群をSとして、>>148のように
SへのG/Sの作用だけ考えれば良いわけだから、2-Sylow群の個数で
場合分けする必要はない。
ついでに言うと、2-Sylow群の個数を「1個or5個」としているのは間違い。
Sylowの定理により2-Sylow群の個数は22の約数である奇数だ。(つまり1個or11個)

153 :132人目の素数さん:02/02/07 03:36
素人ですいませんがログ20ってなんですか?

154 :132人目の素数さん:02/02/07 08:46
マルチポストで申し訳ないのですが、
この問題をといていただけませんか?
http://proxy.ymdb.yahoo.co.jp/users/ccadfb2d/bc/s.doc?bcYqis8AXb7KOc1e
回答はビットマップなどでお願いできれば・・・と思います。
よろしくお願いします。


155 :132人目の素数さん:02/02/07 08:49
直リンじゃダメなようなので、再度・・・
ttp://proxy.ymdb.yahoo.co.jp/users/ccadfb2d/bc/s.doc?bcYqis8AXb7KOc1e
よろしくお願いします。


156 :132人目の素数さん:02/02/07 09:12
言葉使いは丁寧ですがそれでは期待する答えは返ってこないでしょうね

157 :132人目の素数さん:02/02/07 09:27
>>156さん
僕のことでしょうか?
かなりわがまま設定ですもんね・・・
自分で解いてみます、申し訳ありませんでした。


158 :132人目の素数さん:02/02/07 15:10
>>157
>かなりわがまま設定ですもんね・・・

ピントの外れ方が素敵。悪いのはそこじゃねえだろ。

159 :144:02/02/07 15:35
>>152
あ、シロー2−部分群の個数は1個または11個でした。。。
添削有難うございます。

>SへのG/Sの作用だけ考えれば良いわけだから、2-Sylow群の個数で
場合分けする必要はない。

どうもおいらにはよくわからないです。。。くわしく教えてください。

160 :偽善者:02/02/07 19:17
>>155
ちょっとTeXの練習に解いてみました。どうぞ。
http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/foryou.html

161 :>:02/02/07 20:58
>>160
TeXはいいんだけどどうやってgifに落としたの?

162 :132人目の素数さん:02/02/07 21:43
>>161
TeX2HTML つかったんじゃない?

163 :132人目の素数さん:02/02/07 22:46
http://tohoho.wakusei.ne.jp/lng/199905/99050091.htm
postscriptデータをGIFやJPGに変換するには?

164 :152:02/02/08 00:54
>>159
群の作用とか半直積とかまだ習ってないなら、その引用部は無視していいです。

方針としては>>148でOK。
2-Sylow群<x>、11-Sylow群<y>とするとG=<x,y>。
xyx^(-1)がyの何乗になるかを求めるところがポイントで、
計算の結果xyx^(-1)= y or y^(-1) となり、
G=<x,y> 及びrelation x^2=y^11=1, xyx^(-1)= y or y^(-1)により
Gが定まるわけだが、(正確にはこれらの関係式で位数22の群が定まることを
示す必要あり) この過程で「2-Sylow群の個数は1個or11個」という情報は
全く使ってないでしょ?
だから147+148のように2-Sylow群の個数で場合分けする必要はないということ。

165 :159:02/02/08 18:29
>>164
>正確にはこれらの関係式で位数22の群が定まることを示す必要あり
Gを位数22の群として考えてるからいらないと思ったけど必要ですか?

166 :132人目の素数さん:02/02/08 19:19
>>165
>>148
「Gが位数22の群」⇒「G=<x,y>,x^2=y^11=1, xyx^(-1)= y or y^(-1)」
は示されているけど、逆向きの矢印は示されていない。

167 :165:02/02/09 00:35
>>166
逆の矢印はなぜ示さないといけないの?
何度も何度も質問ごめんなさい。

168 :132人目の素数さん:02/02/09 03:04
質問スレに同様のこと書いたけど反応がないのでこちらに。

整数係数多項式を有理数上で因数分解した時、出てくる因数も整数係数となるのでしょうか?


169 :132人目の素数さん:02/02/09 03:19
>>168
なります。
同じやりかたでUID上の多項式環がUIDになることを
ガウスが証明しました。

170 :132人目の素数さん:02/02/09 05:53
>>167
なぜ、って・・・?
質問の意味がよくわからないが、「位数が22」ということから帰結される条件を
いくつか並べただけでは位数が22の群を定めたことにならないだろう?
一般に必要条件だけでは十分条件にならない。

171 :132人目の素数さん:02/02/09 20:01
「Gを位数が119の群とする。Gの7-Sylow群、17-Sylow群はそれぞれひとつしかない
 ことを示し、 それをH、Kと置いたとき、(HとKの直積)とGが、群として同型に
 なることを示せ。」

前半は簡単ですぐ分かるのですが、後半が分かりません。
|h|と|K|が素数だからそれぞれ巡回群になる、という事を言ったあと
どうすればいいか分かりません。教えて下さい。よろしくお願い致します。


172 :168:02/02/09 22:13
>>169
ありがとうございます。
証明は、独りで考えて思いつくようなものでしょうか?難しいでしょうか?

173 :132人目の素数さん:02/02/10 02:25
>>172
すべての係数のgcdが1になるような整数係数の多項式を
原始多項式ということにします。
1)有理数係数の多項式は有理数と原始多項式の積に
  一意的に表される。
2)原始多項式どうしの積は原始多項式である。

1)は明らかですが2)はちょっとした演習問題ですね。
この2つを使えば,有理数係数で因数分解したものを
整数係数の因数分解になおせます。

174 :132人目の素数さん:02/02/10 15:38
>>171
この問題みたことあるぞ。
HとKが可換である事をしめして、写像fを決める。
f:H×K→hk
この写像は、同型です。

175 :168:02/02/11 16:40
>>173
ありがとうございます。ちょっとやってみました。

2)
f(x)=A0+A1x+・・・・+Anx^n
g(x)=B0+B1x+・・・・+Bmx^m

P:素数  f(x),g(x):原始多項式 とする。
あるAiとBjはPで割りきれない。
そういったものの添え字が最大のものをそれぞれ、As、Btとおく
(i+j=s+t)Ai*Bj≡As*Bt(≡0ではない)(mod P)
よって、(i+j=s+t)Ai*BjはPで割りきれない。

つまりどんな素数に対しても、割りきれない f(x)*g(x)の係数が存在するので
つまり、f(x)*g(x)の係数の最大公約数は1


176 :173:02/02/11 21:44
>>175
なかなかいい。
背理法の形にしてない所がキレイだね

177 :132人目の素数さん:02/02/12 01:12
お助けください。
Kを体、Fをその部分体、Kの自己同型写像全体をAut(K)とする。
Aut(K)の部分群Gについて、φ(K,G)をGの固定体とする。このとき
F=φ(K,Aut(K/F))⇒Aut(K/F)のある部分群GについてF=φ(K,G)である。
自明なことなのでしょうが、私にはピンときません。お願いします。

178 :168:02/02/12 18:28
>>176
ありがとうございます。実は結構証明するのにごたごたして、最初はエレガントに
行かなかった
はじめは、f(x)*g(x)について、f(x)を固定して、g(x)をm次以下
の多項式とすると、これはm+1次ベクトルからm+n+1次ベクトルへの線型写像
だから、対応する行列(=A0、A1・・・・Anを縦に並べ一個ずつ下げた形になる。名前があるのかもしれない)を使って証明した。

次に整数係数多項式が2つの有理数多項式の積に表されていたとする。
2つの多項式をλf(x)、μg(x)とする。λ、μは有理数。f(x)、g(x)
は原始多項式とする。

λμ*f(x)g(x)は、λμが有理数で>2)原始多項式どうしの積は原始多項式である。
よりf(x)g(x)が原始多項式。
有理数*原始多項式という表し方は正負を度外視すれば一意的で、特にもとの多項
式が整数係数の場合、係数の最大公約数が頭に出てくる。
よって、λμは整数。
つまり、整数係数多項式が有理数係数多項式の積に表されていた場合、適当な有理
数をそれらの有理数係数多項式に掛けて、整数係数多項式の積に出来る。
特に因数分解でもいえる。

これで良いのかな?それほど自明でもなかったな。



179 :132人目の素数さん:02/02/12 19:32
>>169
UID?
UFD?

180 :数学特訓者:02/02/12 20:45
線形代数学の問題で固有値ベクトルの問題がわかりません。
どなたか教えていただけたらありがたいです!!
よろしくお願いします。

実対称行列の異なる固有値λ、μに対応する固有値ベクトルu、vは直交することを証明せよ。

|3 1 -1 |
|1 3 1 | を対角化する直交行列Pを求めよ。
|-1 1 3 |



181 :132人目の素数さん:02/02/12 21:29
(λ-μ)uv=uMv-uMv=0 よって uv=0
対角化は、、、とりあえず固有ベクトル求めてミソ。


182 :181:02/02/12 21:34
よくみたらさくらスレじゃなかった。スマソ
>>181 「わからない問題はここに書いてね」に逝け。


183 :181:02/02/12 21:35
ナンドモスマソ。 >>181 じゃなくて >>180

184 :169:02/02/12 23:29
>>179
そうですね。ついつい間違える

185 :数学特訓者:02/02/13 09:52
>>181-183

ありがとうございます。
スレ違いでごめn

186 :132人目の素数さん:02/02/13 16:16
>堀田良之「環と体1 可換環論」岩波講座 現代数学の基礎

これから読み始めるんですが、今から参加して良いですか?

187 :132人目の素数さん:02/02/13 17:35
堀田先生といえば、
むかし "annihilator" を「あにひれーたー」と
言ってたのを思い出すな。

188 :132人目の素数さん:02/02/13 20:13
このまえスキームの圏と環の圏が1;1に対応することを知って
感動した。代数幾何もおもしろそうですね。


189 :132人目の素数さん:02/02/13 21:23
>>170
よく考えたらそうですね、わかりました。ありがとう。

190 :132人目の素数さん:02/02/13 23:02
解析数論の一分野の「一様分布論」を用いて準乱数を作ると、
ある程度の滑らかな関数の高次多重積分がモンテカルロ法よりも
速く収束するという話を聞いたのですが、その辺の話を教えてください。

191 :132人目の素数さん:02/02/16 00:06
数の幾何学とかあまりやっている人のいなさそうな
分野の話知りたい。

192 :解析系:02/02/23 11:28
私は解析系の人間ですが、いまいち代数の面白さが実感できません。
皆さんは代数のどういうところを面白いと感じるのでしょう。
ここで語ってくださいな。

193 :132人目の素数さん:02/02/23 16:12
>>188
スキームの圏でなくアフィンスキームの圏では。


194 :132人目の素数さん:02/02/23 17:13
>>187 「アニヒレーター」じゃなくて「アナイアレーター」?

195 ::02/02/23 18:03
この人バカ

196 :194:02/02/23 18:07
>>195 えっ、どうして?

197 :132人目の素数さん:02/02/23 18:23
矢印厨にご注意あれ

198 :132人目の素数さん:02/02/23 19:41
>>192
> 私は解析系の人間ですが、いまいち代数の面白さが実感できません。
> 皆さんは代数のどういうところを面白いと感じるのでしょう。
> ここで語ってくださいな。

代数的方法は対象や推論や相互関係をパターン化して整理してるので気持が良い。
代数的に定式化できれば問題が一般的でなおかつ易しくなったといえることが多い。

199 :132人目の素数さん:02/02/23 19:49
代数解析ってのもあるぜよ

200 :132人目の素数さん:02/02/26 02:22
KをQ上ガロア拡大体として
Gal(K/Q)の部分群Hに対して
K^HをHの固定体としたときに
[K^H:Q]=|Gal(K/Q):H|でした??

201 :132人目の素数さん:02/02/26 07:51
代数的に解けないと意味がない!!

202 :132人目の素数さん:02/02/26 08:50
>>200そのはずだね

203 :132人目の素数さん:02/02/27 02:42
>>200の証明ってどーやってするんですか??

204 :132人目の素数さん:02/02/27 03:11
>>203
どーやってもなにも、どんなガロア理論の教科書にも出てくる基本定理じゃないか?

205 :132人目の素数さん:02/02/27 03:16
>「アニヒレーター」じゃなくて「アナイアレーター」?
そうですよ。どちらのアも口を殆ど開けないアです。

>>195ボクちゃん発音記号って知ってるかな〜?

206 :132人目の素数さん:02/02/27 04:03
>>203
体の拡大次数の乗法性と,
部分群の位数と指数の積が群の指数に等しいことから
かな
あえていえば

207 :132人目の素数さん:02/02/28 16:49
体の代数拡大について質問があります。以下、K、L、Mなどを体、(K:L)=LをK上ベクトル空間とみなした場合の次元とする

ア)K⊂L 、(K:L)=有限、 の場合、Lの適当な元αを一つKに付加すれば、Lを得られるでしょうか?

イ)K⊂L⊂M ならば (K:M)=(K:L)*(L:M)が成り立ちますが
逆に、K⊂M、dが(K:M)の約数なら、(K:L)=d K⊂L⊂M となる中間体Lはかならず存在するのでしょうか?

ウ)K⊂M α∈M で、 1、α、α^2、α^3、、、α^(n-1)がK上ベクトル空間としてのLの基底だとする。
d|nとする。1、α^d、α^2d、、、α^(n-d)のKの元を係数とする線型和全体は、体となるか?(その場合Kのn/d次拡大体となる)


以上、ア)イ)ウ)、関係あるのかもしれませんが独立した問題ですので、単独でも良いから分かる方教えてください。今日ずっと考えてて分かりませんでした。

208 :207:02/02/28 16:52
>>207

ア)イ)が成り立つなら、ウ)が成り立つことは分かるのですが。

209 :207:02/02/28 21:43
>ア)イ)が成り立つなら、ウ)が成り立つことは分かるのですが。

これは早とちりでした。撤回します


210 :132人目の素数さん:02/02/28 23:52
>>207
>(K:L)=LをK上ベクトル空間とみなした場合の次元とする
ふつうこれは(K:L)でなく(L:K)と書かないか?

ア) L/KがseparableならL=K(α)と書けることは大抵の教科書に載っている。
separableでない場合は知らん。

イ) 存在するとは言えない。例えばM/KがGal(M/K)=A_4(4次交代群)なる
Galois拡大であれば(M:K)=|A_4|=12だが、A_4は位数6の部分群を持たないので
(M:L)=6なる中間体は存在しない。

ウ) イ)が不成立なのでこれも不成立。大抵の場合その線形和は部分環にしかならない。

211 :207:02/03/01 14:14
>>210

どうもありがとうございます。ゆっくり考えてみます

>>(K:L)=LをK上ベクトル空間とみなした場合の次元とする
>ふつうこれは(K:L)でなく(L:K)と書かないか?

始めて気がついた。確かにその通りだ。ずっと勘違いしてた。大きい方が左側に来るというのは、違和感があるが。
「log底KのL」 ってのはどうかな?


212 :解析系:02/03/02 22:05
>>198
なーるほど。
確かに、代数の強みというかセールスポイントは
相互関係の形式化とパターン化ですね。
個人的には、解析学の収束証明や式の評価の部分が面白いと思ってるので、
そういう観点からすれば代数の面白さがあんまり実感できないわけですな。
直感的印象ですが、代数では議論の舞台構成に力を置いていて、
解析では舞台の上での行為に力を置いているような気がします。

>>199
代数解析はちゃんと勉強したことないからよく知らんのだけど、
方程式の(とその方程式が表している現象)の実体的な部分が
代数系の中に隠されてしまうような気がするので、そういうアプローチは
あんまり好きじゃないです。
(そもそもその点が代数解析のウリなのでしょうけど)

>>201
代数的に解けないと意味がない、というのも分かりますが、
解析的には、例えば微分方程式の解の性質がパラメータに関して
滑らかかどうかとかも重要な興味の対象です。
代数的に解けない問題に対し、いかにしてアプローチするかというのも
面白いところだと思うし。

他の皆さんの代数や解析に対する考えはいかがですか?


213 :132人目の素数さん:02/03/05 11:56
エロ動画

214 :132人目の素数さん:02/03/11 19:57
Mn(C)はC上ベクトル空間であり、Q上ベクトル空間。
A∈Mn(C)の列ベクトルたちがQ上一次独立ならAは逆行列をもつ、といえるんですか??
んぅ、ベクトル空間がわからなくなってきたぁ。

215 :132人目の素数さん:02/03/11 20:06
>>214
A∈M_2(C) の列ベクトルが(1,0)(i,0)の場合でも考えてみれ。

216 :132人目の素数さん:02/03/11 20:14
>>215
(1,0)(i,0)はQ上一次独立だけどC上一次独立でない。。。

217 :216:02/03/11 20:20
今見た教科書に
A∈Mn(C)が正則である⇔Aの列ベクトルが一次独立って書いてあったんだけど
Q上一次独立,C上一次独立どちらなんでしょうか?

218 :215:02/03/11 20:21
>>216
そだよ?だから、
>A∈Mn(C)の列ベクトルたちがQ上一次独立ならAは逆行列をもつ、といえるんですか??
はNoだと言ってるんだけど。

219 :215:02/03/11 20:24
>>217
せっかく>>215で書いたのに無視ですかい。よーし、パパ拗ねちゃうぞー。

#大体、そこでなんでQがいきなり出てくるのか小一時(略)
#Rは仲間外れかよ(違)

220 :132人目の素数さん:02/03/11 20:28
>>219
すいません。見落としてました。
行列
(1,0)
(i,0)
は逆行列をもちませんね。

221 :220:02/03/11 21:04
Mn(C)をQ上ベクトル空間としてみたとき
A∈Mn(C)が正則であることと同値な条件てある??


222 :132人目の素数さん:02/03/11 23:26
代数はキレイにこじんまりまとめすぎ
解析は細かくやりすぎ
よって幾何がいいや(w

223 :132人目の素数さん:02/03/12 00:29
幾何はイメージに頼りすぎ
よって集合論の泥沼がいいや(w

224 :132人目の素数さん:02/03/12 03:25
HartshorneのAlgebraic Geometryの2章にunit idealってあるんですけど何のことですか?
索引にも無いし代数の本を見ても見つからないです。

225 :132人目の素数さん:02/03/12 03:56
深遠な概念のように聞こえるね。
もしも1の生成するイデアルのことだったりしたら、怒るよね。

226 :132人目の素数さん:02/03/12 09:07
>>224
単元を含むイデアルらしいです。つまり>>225で正解。

227 :132人目の素数さん:02/03/12 09:39
怒れ! 225 。

228 :132人目の素数さん:02/03/12 19:44
質問がクソ

229 :132人目の素数さん:02/03/12 19:55
(1)←何かべつのものに見えますが、何か?

230 :132人目の素数さん:02/03/12 20:35
すれ違いかもしれないけど、
モンテカルロ法、準モンテカルロ法について述べているサイトを教えて。
それとこれらは代数学と少しは関係あるんですか??

231 :132人目の素数さん:02/03/12 20:36
あ、それとubasic使ったことあるひといますか??

232 :132人目の素数さん:02/03/15 22:55
>230
俺も準モンテカルロ法知りたい。
やっている人ってどのぐらいいるの?
東大・伏見先生一派、IBM関係者etc.



233 :132人目の素数さん:02/03/15 22:58
そうそうモンテカルロ法だったら松本眞先生作の
メルセンヌ・ツイスターがKO大数理ホームページにあった。
準モンテカルロ法は、解析数論の中の一様分布論と
関係あるらしいけど、よく知らないので誰か教えてちょ。

234 :132人目の素数さん:02/03/16 02:46
n次元ユークリッド空間の部分集合
{(x1、x2、……、xn)|0<=xi<1、i=1、2、……、n}の体積は1??
代数の講義で出てきたけどわからなかった。。。どなたか教えてください。。

235 :132人目の素数さん:02/03/16 03:30
定義やんか
それとも、境界を含んでないから体積はこぼれ落ちてしまうはずだという
例の疑問?

236 :234:02/03/16 05:12
>>235
詳しく教えてください、お願いします。

237 :234:02/03/16 05:18
>>235
境界を含んでないから体積はこぼれ落ちてしまうはずだという
例の疑問?ではないです。


238 :132人目の素数さん:02/03/16 08:05
>>234
問題の集合をVとすると体積は
∫[0,1]...∫[0,1]dx1...dxn=1
となるのでは?

239 :238:02/03/16 08:07
VとするととかいっといてV使ってなかった・・・
体積は∫_V1dxだから、ということです。

240 :132人目の素数さん:02/03/16 23:48
∫…∫_V (1)dx1…dxn
=∫[0,1]...∫[0,1](1)dx1...dxn
=1
てこと

241 : ◆GaussrLU :02/03/17 00:57
質問スレよりもこっちのほうがよさそうなので。


与えられた数の平方根を計算するときに、
a_n+1 = ( a_n + m / a_n ) /2
a_0 = 1 ( でも何でもよい )
この数列の極限は、√m に収束する。

これを有限体に適用することを考えてみた。
F_p( = Z/pZ)を考える。
m を整数とし、(m/p)=1 (平方剰余)とする。
# i.e. x に関する合同式
# x^2 ≡ m (mod p)
# が整数解を持つこと。

このとき、mod p での m の平方根を求めたい。
a_n+1 ≡ ( a_n + m / a_n ) / 2 (mod p)
と漸化式を与えれば、この数列の極限は、
mod p での m の平方根に収束するか?

有限体だから、平方根に収束しなければ途中で循環する。
そのときは新しい値からはじめる。
これを繰り返せばいつかは平方根が計算できるけれど、
素朴に計算したほうが速ければ意味がない。

平方根に収束することを証明する。
または、
素朴な計算より計算量が少ないことを証明する。
どっちでもいいから何かアイデアないもんでしょうか?

242 :132人目の素数さん:02/03/17 01:06
ガウスの綴り全然違う。。。

243 :132人目の素数さん:02/03/17 14:16
Qの完備化として実数体とp進体は親戚のようなもの。
実数体で成り立つ下記のNewton法の定理は

 漸化式 x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)で数列{x_n}を作る。
 x_0がf(x)の根αに十分近ければ数列{x_n}はαに収束する

p進体でもほとんどそのまま成り立ちます。(「x_0がf(x)の根に近ければ」は
Henselのlemmaで「f(x_0)≡0 mod pならば……」という部分に相当)

こういう解析的な定理をp進体でなく有限体に適用しようとするのは
とりあえずセンス悪いような。
「Z/pZ内でf(x_0)=0となる元x_0をみつける」というのは、
Z_pに置きかえると「f(x_0)≡0 mod pとなるZ_pの元x_0を見つける」、
すなわち「Newton法の初期値x_0を決める」段階に相当するでしょうか。
Newton法の漸化式はNewton法の初期値を決めることには使えない
というのは常識ですね。

244 : ◆GaussrLU :02/03/17 20:33
>>243
ありがとうございます。

今は、1,2,…,(p-1)/2 をそれぞれ二乗して調べていたのですが、
もうちょっとましな方法はないかというのが動機でした。

245 :132人目の素数さん:02/03/18 23:10
任意の体に対して、その代数的閉包が存在することの証明は難しすぎ。
こいつのおかげで勉強が一週間近くストップした。。




246 :↑キニスンナ:02/03/18 23:15
指導教官曰く「停滞している時間は無駄ではないんだ。」

247 :132人目の素数さん:02/03/20 20:48
無駄ではないと思いたい。
でもやっぱり無駄な気がしてしまう私は才能なしですか。

248 :↑キニスル:02/03/20 20:58
俺なんて一ヵ月近く勉強してないよ。

249 :132人目の素数さん:02/03/21 03:37
停滞してるのと勉強してないのとは
ちょっと違うんではないかい?

250 :132人目の素数さん:02/03/22 15:51
ちょっとじゃなくて全然違うよ。

251 :132人目の素数さん:02/03/23 00:15
>>245
その質問をしたものです。澄みません。


252 :132人目の素数さん:02/03/26 00:25
>任意の体に対して、その代数的閉包が存在することの証明

これで一週間停滞するのは無駄に近いかもしれない。
代数的閉包の存在証明は読み飛ばすのが正解。

253 :132人目の素数さん:02/03/26 03:44
>> 252
疑問に思わないやつの存在は無駄。

254 :132人目の素数さん:02/03/26 11:58
代数的閉包の存在証明ってそんなに難しかったっけ?
Zornの補題を機械的に適用して終わり、ってな感じじゃなかったか?

255 :132人目の素数さん:02/03/27 22:15
有理数体QにQ上代数的数でないものを添加した体の
Q上の次数は有限でないのですか??

256 :132人目の素数さん:02/03/27 22:45
Michael ArtinのAlgebraっていう本どうですか。

257 :132人目の素数さん:02/03/27 22:47
>>255
π,π^2,π^3,… がQ上一次従属になるというのなら
有限拡大でしょう。

258 :132人目の素数さん:02/03/27 22:48
>>255
そういうことは、人に聞かずに本に書いてある「有限次元」
の定義をじっくり読んで考えてみよう。
1を聞いて10を知る努力をしたら?

259 :数学初心者:02/03/28 04:19
数学についてほとんど何もわかりません。どなたか教えてください。
(1)整数の集合Jを7を法として分類した剰余類C0、C1、C2、C3、C4、C5、C6において次の問に答えなさい。
@それぞれの剰余類を合同式を用いて表せ。
A剰余類の和及び積の表を作れ
B剰余類の集合{C0、C1、C2、C3、C4、C5、C6}は積に関して群をなすことを証明せよ

何かアドバイスおねがいします。
また、代数学の基本がわかるような本があれば教えてください

260 :132人目の素数さん:02/03/28 09:27
何がわからないのかがわからない

261 :Y:02/03/28 14:44
C2×C5=C10=C3(mod7)のようなことをC0、C6ですべて計算すればいいのでわ?

262 :I:02/03/28 15:08
>>259さん
それぞれの言葉について定義を知っているのか教えてください。
7を法とする、剰余類、合同式、群、、、


263 :数学初心者:02/03/28 23:32
259です。
質問が漠然としていました。すみません。
「7を法とする」がわかりません。
言葉の意味もわからない通信大学生です。
何か、言葉の意味がわかるようなお勧めの本は無いでしょうか?(教科書だけではさっぱり・・・)
このままだとあっというまに1年が終わってしまいそうです。

264 :132人目の素数さん:02/03/28 23:41
>>263
「7を法とする」
っていうのは 7で割ったあまりを考えるってこと。
つまり、詳しく知りたければ整数論の本をよめってことだ

265 :132人目の素数さん:02/03/28 23:41
>>263
ここに偉い人がいるので参考にしてみては?<本
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1015741116/62/

266 :132人目の素数さん:02/03/28 23:42
なんと悲惨な…この哀れな>>263に誰か愛の手を!

267 :Y:02/03/29 03:54
>>259
「群・環・体」ていう共立出版からでている本にそのような問題の解答がたくさんでてるよ

268 :数学初心者:02/03/30 01:22
みなさま、ありがとうございます。助かりました。
また自分のレベルの低さを認識しました。
高校数学に戻りながら頑張ります。


269 :まおまお:02/03/30 15:52
そこまで何も知らないのに、自分の質問の内容が代数学の範疇
である、ということは分かったんだ?
実は、結構センス良いのでは?? 頑張ってね。

270 :255:02/04/03 22:04
>>258
考えてみたらわかりました。
数学ってひとに聞く前に自分の頭で考えることが大切だということもわかりました。

271 :132人目の素数さん:02/04/03 22:08
質問したとたんに閃いたりするんだよね。>270

272 :I:02/04/04 23:16
>271
そういうのってありますね。

273 :132人目の素数さん:02/04/08 00:29
標数pの剰余体が非完全だと何が本質的に問題になるんですか?
例えばB_dRが、非完全のときにはややこしい定義をしなくてはならないのは
なんでなんでしょうか?


274 :132人目の素数さん:02/04/11 21:44
体の分離拡大の定義がテンソル積使って書いてあるんだけど。。。。
とっかかりすらつかめないのでヒント下さい。
永田の「可換体論」に出てました


275 : ◆NewSrN.I :02/04/11 21:48
参考資料.....
http://www.applehouse-jp.com/project/index.html

276 :132人目の素数さん:02/04/11 22:46
>>259
>>256と一緒に
>Michael ArtinのAlgebraっていう本どうですか。
この本読めば?わかりやすいよ.
ちょっと重いけど(藁


277 :132人目の素数さん:02/04/12 11:29
代数学、整数論(解析的、代数的)ってどんなことを研究してるんですか??
大学1年程度のひとにわかるように教えてくれませんか??

278 :132人目の素数さん:02/04/12 11:59
代数学
群、環、体といった基本的な概念を勉強します。
最終目標はガロア理論とする場合が多いです。

代数的整数論
代数的整数と呼ばれる1変数多項式の根となる数の研究です。
普通の整数は区別するため、有理整数と呼びます。

解析的整数論
解析的手法を用いた主に素数にかかわる研究です。

279 :132人目の素数さん:02/04/12 23:52
代数学とはあんまり関係ありませんが、
修士論文って発見的なもの(教科書にのってる補題レベル?)をみな書くんですか??
このままいったらそんなの書ける気がしない大学4年生(院進学希望)です。
読んでる本の内容をまとめただけってことはないですよね?


280 :132人目の素数さん:02/04/13 01:39
人による。
そのまま研究論文クラスになって、他の人がいっぱい勉強するような修論もあれば、
総合報告もある。

281 :ぽあ村協会:02/04/13 01:44
>>279 大学にもよるね

282 :132人目の素数さん:02/04/13 02:17
>>279
とりあえず今お前が座っている椅子を両手で持ち上げるんだ。
それくらい出来るよな?

そのまま椅子を持った両手を上まで一気に伸ばす。
そして「せいやーっ!!」と叫びながら前に思いっきり振り下ろせ。

ちょうど今お前が見てるこの書き込みめがけて振り下ろせ。
そうすればお前に希望が訪れる。

283 :132人目の素数さん:02/04/13 11:14
線形代数って完成されていてこれ以上発展しない、って本当ですか?!!

284 :132人目の素数さん:02/04/13 11:17
>>283
単なる区切りだから・・・


285 :132人目の素数さん:02/04/13 11:18
符号理論や組合せ論とも関連してて重要な有限体や標数が正の体上の
線形代数はまだまだ未開拓ですよ。

286 :283:02/04/13 11:23
>>284-285
ぬおお、授業の最初の概説で>>283のような事を聞いたのですが。
よく分からないけど面白そう!頑張るぞうおおお!!!

287 :132人目の素数さん:02/04/13 11:34
どんな分野も見方を変えればおもしろく復活したりするのよんねん。
だいたい「専門家」の言ってることはアテにならないとおもってマチガイないわん。

288 :132人目の素数さん:02/04/13 11:38
だいたい「専門家」っていうのは身動きできないヤツラを指す。(ワラ


289 :132人目の素数さん:02/04/14 23:03
2^(2^n)+1
2^p+1が素数かどうかを考えるようになった理由を教えてください。

290 :132人目の素数さん:02/04/14 23:04
>>289
nは自然数、pは素数とします。

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