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17個目の準正多面体は存在するのか?

1 :132人目の素数さん:01/12/29 00:58
語り合おうぜ。

2 :132人目の素数さん:01/12/29 01:01
16個教えてください

3 :132人目の素数さん:01/12/29 01:06
十六個目はミラーという人が発見したんだけども、
これがまた対称性に欠けててね、
賛否両論です、はい。

4 :497:01/12/29 01:16
>>3
ミラーなのに対称性に書けるのか(w

5 :132人目の素数さん:01/12/29 01:22
>>4
うまい!!
そうなんですよね。

6 :132人目の素数さん:01/12/29 03:05
準正多面体の定義って、
「全ての面が正多角形で、頂点における面の接し方が
 (鏡面対称は同じとみなして)一通りしかないような
 多面体」
でいいんでしたっけ?それとも正多面体は除くの?
あと、何か他に条件ありましたっけ。

んで、私も、16個の一覧きぼ。

すぐ思いつく所で挙げとくと
正多面体の辺の中点結んでやると
(1)正方形6個、正三角形8個(立方体または正8面体から)
(2)正三角形20個、正五角形12個(正20面体または正12面体から)
正多面体の頂点を切り落とすと
(3)正六角形4個、正三角形4個(正4面体から)
(4)正八角形6個、正三角形8個(立方体から)
(5)正六角形8個、正方形6個(正8面体から)
(6)正十角形12個、正三角形20個(正12面体から)
(7)正六角形20個、正五角形12個(正20面体から、いわゆるサッカーボール型)

あれ、でもよく考えたら、側面が正方形になるような正多角柱は
全部条件を満たすような...ってことはそれも除くわけね。

あとこんなのもあったっけ
(8)正方形6個、正三角形32個(うち、8個の辺は正三角形とのみ接し、
   24個は1辺が正方形と接する)からなり、一つの頂点に
   正方形1個+正三角形4個
(9)正五角形12個、正三角形80個(うち、20個の辺は正三角形と
   のみ接し、60個は1辺が正五角形と接する)からなり、
   一つの頂点に正五角形1個+正三角形4個

(8)は、立方体の各面をねじったイメージ、(9)は正12面体の各面を
ねじったイメージですね。

で、あとは?

7 :132人目の素数さん:01/12/29 03:25
あれ、よく考えて見たら、
任意の正n角形2個と正三角形2n個でもできちゃうなあ。
ってことはこれも除くのか。

もしかして、「同じ正多角形は必ず3個以上使用されること」とかいう
条件も必要なのかな?

8 :132人目の素数さん:01/12/29 03:56
こんなのもあった。
正多面体の各辺の所に正方形をはさむパターン
(10)正三角形8個、正方形6+12=18個(正8面体または立方体より)
(11)正五角形12個、正三角形20個、正方形30個
    (正12面体または正20面体より)

9 :132人目の素数さん:01/12/29 04:07
三種類の正多角形を使うのもあったような・・・。
一つは十角形。あとの二種類は何角形だったかな?
合計で確か62面体だった。

10 :132人目の素数さん:01/12/29 05:47
>>9
あ、わかった。(10)と(11)のバリエーションで
(12)正六角形8個、正八角形6個、正方形12個
(13)正十角形12個、正六角形20個、正方形30個
ってやつですね。ちなみに、(11)でもすでに3種類使ってますが。

で、別の角度から理詰めで考えたら、どうもこの13種で打ち止めなんですが...
もしかしたら、(8)(9)を除いてさらに正多面体5種を加えて
13−2+5=16種ってこと?

11 :132人目の素数さん:01/12/29 06:22
>>10
いろいろ調べてみたところ、
16種と数える時は、この13種に、
立方体と正8面体を除いた正多面体3種を加えるようですね。

で、なんで立方体と正8面体を除くかっていうと、
正角柱(側面が正方形、底面が正多角形の角柱)と
反角柱(側面が正三角形、底面が正多角形の、角柱をねじったような形)は
準正多面体から除く、という定義を、一般には採用するからのようですね。

...するってーと、全部で16種しかないってことは、
わりと簡単に証明できる気が...

12 :スレ主:01/12/29 11:06
正多面体を除いて純粋に16個発見されてあるはず、
鏡像を別個と考えるのが16個と思います、
色々、定義があるみたいで、断言できませんが。
でもミラーの発見は当時ワイルズ以上の衝撃だったろうと思います。

13 :132人目の素数さん:01/12/29 11:17
>ミラーの発見は当時ワイルズ以上の衝撃だったろうと思います。

根拠のないドキュソ発言。初等幾何なんて一部のマニアしか興味がないよ。

14 :スレ主 :01/12/29 11:29
>根拠のないドキュソ発言。初等幾何なんて一部のマニアしか興味がないよ。

おっしゃるとうりです、大学でもやらんしね。

15 :132人目の素数さん:01/12/29 11:40
最近、多面体の本が出たね。ちょっと興味を引かれたけど、買う気にまでは
ならなかった。見ていて楽しいとは思うけど。
群という観点からいうと、空間の回転群の有限部分群は完全に分かっているから、
本質的に新しい発見があるような気もしないんだけど。

16 :132人目の素数さん:01/12/29 12:06
>>15
なんていう本ですか?
詳細キボー

17 :132人目の素数さん:01/12/29 12:15
>>16
シュプリンガーから出た「多面体」という本。
http://www.springer-tokyo.co.jp/content/isbn4-431-70925-8.html

18 :132人目の素数さん:01/12/29 12:23
>>17
詳細有り難うございます、10章が準正多面体っぽいですね、
確かになんとなく買える値ではないですね。

19 :132人目の素数さん:01/12/29 12:41
>>12
スレ主さんへ。
今ここで上がってるのは、(8)(9)は鏡像があるので2重に数えると、
正多面体を除いて15種なんですが、16番目をもったいぶらずに
早く教えて下さい。(普通に考えたら、もうないんですが...)

20 :スレ主:01/12/29 13:00
16個目の準正多面体すなわちミラーの多面体ですね、
10の多面体の上段の部分(抽象的ですまそ)を45°回転させたものです。
90°ではないですぞ、回転させると定義は満たすけど、
対称性に欠ける不思議な多面体なのです。

21 :スレ主:01/12/29 13:21

△□△ □△□
□□□□□△□△
▽□▽ □▽□


を組み立てるとミラーの出来上がり。

22 :スレ主:01/12/29 13:24

△□△ □△□
□□□□□△□△
▽□▽ □▽□


23 :スレ主:01/12/29 13:27
●●□●●●●●
●△□△●□△□
□□□□□△□△
●▽□▽●□▽□
●●□●●●●●


●を除いてちょ

24 :スレ主:01/12/29 13:30
●●□●●●●●
●△□△●◇△◇
□□□□□△◇△
●▽□▽●◇▽◇
●●□●●●●●

かな?

25 :スレ主:01/12/29 13:36
●●□●●●●●
●△□△●◇▽◇
□□□□□>◇<
●▽□▽●◇△◇
●●□●●●●●

です。

26 :132人目の素数さん:01/12/29 21:17
シュプリンガーの「多面体」という本をちょっと立ち読みしてきたけど、ミラーが
発見したという多面体は歴史的には何度も再発見されたもので、古くはケプラーも
知っていた可能性があるらしい。この本を見た感じでは、多面体といえども素人が
ちょこちょこなんかやって、新しい発見ができるというものではなさそう。
当然のことではあるけど。

27 :132人目の素数さん:01/12/30 02:51
>>20
なるほど...たしかに盲点をついた発見(再発見?)ですが...
なんだか期待して損したような...萎え萎え...
少なくとも、数学方面でなんらかのインパクトを与える発見ではなさそう
ですね。(準正多面体について書いてある本に若干の改訂が必要になった
ぐらいで。)
準正多面体の定義に、各頂点の等価性に関する条件を加えるだけで、
「ハイ消えた〜」ですから。

もしかしたら、準正多面体の形状の分子構造をした化合物なんてものが
あるなら、その亜種の存在を示唆しているという意味で、化学方面で
なんらかの意義があった可能性は(素人考えですが)あるかも
しれませんが。

ちなみに...
準正多面体(ここでは、正多面体も含むが、正角柱と反角柱を除く定義を
採用する)の頂点に集まる正多角形の辺の数を頂点の回りの順に[a,b,c]と
いうように[]で囲んで並べて書く(例えば(10)なら[3,4,4,4])ものと
し、これが準正多面体を特徴付けるものとみなすと、
[a,b,c]と[b,c,a]と[c,b,a]等は全て等価と考えられるが、
[a,b,c,d]と[a,c,b,d]や、[a,a,b,b]と[a,b,a,b]は別物である。
(裏返しも等価とみなす円順列)
このとき、準正多面体は、次の16通りしか存在しないことが言える。
[3,3,3] [5,5,5] [3,6,6] [3,8,8] [3,10,10] [5,6,6]
[4,6,6] [4,6,8] [4,6,10] [3,5,3,5] [3,4,3,4]
[3,4,5,4] [3,4,4,4] [3,3,3,3,3] [4,3,3,3,3] [5,3,3,3,3]

この頂点の条件に関して、[4,3,3,3,3]と[5,3,3,3,3]については
鏡像があるが、ミラー氏の発見は他に[3,4,4,4]についても
2通りの準正多面体が作れることを示したことになる。
それ以外のものについては、頂点の条件を満たす準正多面体は
1通りしか存在しないことを慎重に調べてやれば、
さらなる発見はありえないことは示せるハズ。

28 :132人目の素数さん:01/12/31 02:03
●●□●●●●●
□△□△□◇▽◇
□□□□□>◇<
□▽□▽□◇△◇
●●□●●●●●


だろ?

29 :スレ主:02/01/06 20:05
>>28
正解です。

30 :132人目の素数さん:02/01/06 20:57
ためになった。by項構成

31 :132人目の素数さん:02/01/08 05:16
>もしかしたら、準正多面体の形状の分子構造をした化合物なんてものが
>あるなら、その亜種の存在を示唆しているという意味で、化学方面で
>なんらかの意義があった可能性は(素人考えですが)あるかも
>しれませんが。

フラーレンだな。

32 :132人目の素数さん:02/01/12 03:26
>>31
フラーレン?
誰それ?
数学馬鹿ですまそ

33 :132人目の素数さん:02/01/12 03:38
>>32
準正多面体の各頂点に炭素があるような分子をフラーレンと呼ぶ。
炭素の化合物。黒鉛・ダイヤに次ぐ別の形。

色々種類が見つかってる。化学的に面白い性質が色々あったり、
中に別の分子を入れたりして化学者が色々遊んでいる最中。
チューブ状に結合しているものは、カーボンナノチューブと呼ぶ。
こちらも、最近話題のおもちゃとなっている。

34 :文献引用:02/01/12 03:39
…これよりもさらに大きな球状構造を持つ分子は、1996年にサセックス大学の
Kroto、ライス大学のSmalleyとCurlの3人に送られたノーベル科学賞で有名な
C60である。C60は20個の六員環と五員環から成る、まさにサッカーボールの形をしている。
その構造が、建築家Buckminster Fullerの設計したドーム型の
建築物と似ている事から、C60はバックミンスター・フラーレン
(Buckminster Fullerene)とも呼ばれている。

35 :132人目の素数さん:02/01/12 03:46
C60型
ttp://www02.so-net.ne.jp/~noz/sl/c60.html

36 :132人目の素数さん:02/01/12 05:45
>>35
ワラタけど、どこまでマジレスかわからんようになった

37 : :02/01/12 13:14
数学セミナーにあったけどね昔

立体星形てのもあるね
模型つくったことある

38 :132人目の素数さん:02/01/18 09:08
sage

39 :132人目の素数さん:02/01/19 13:30
>>36
>>35 以外は全部マジレスだ。

40 :132人目の素数さん:02/03/05 09:39
>>27
[a,b,c,d]と[a,c,b,d]とかを同じとみなしたらどれくらいの多面体が存在するんだろ?

41 :132人目の素数さん:02/03/05 09:40
氏ね。

42 :132人目の素数さん:02/03/30 01:56


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