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★☆★ well-defined ★☆★

1 :偽今井エミュレータ(ライセンス失効中):01/12/16 20:57
well-definedの定義は何でしょう。
で、それがwell-definedであることはどうやってチェックするの?

2 :2:01/12/16 21:01
2

3 :132人目の素数さん:01/12/16 21:02
整数を例にとって教えていただけませんか?

4 :132人目の素数さん:01/12/16 21:04
要は何かを定義したときに、それがちゃんとした定義になっているということ。
当たり前のことだよね。

5 :132人目の素数さん:01/12/16 21:05
「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。

6 :132人目の素数さん:01/12/16 21:08
非常に大事な事だけど書いてある本は少ないね。

7 :132人目の素数さん:01/12/16 21:08
「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。

8 :132人目の素数さん:01/12/16 21:09
「「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。」は「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
なんでしょうか。

9 :132人目の素数さん:01/12/16 21:11
「「「定義」という概念は「「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。」は「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
なんでしょうか。
well-definedなんでしょうか。」は「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
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「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
なんでしょうか。

なんでしょうか。

10 :132人目の素数さん:01/12/16 21:13
「「「定義」という概念は「「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。」は「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
なんでしょうか。
well-definedなんでしょうか。」は「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
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「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
なんでしょうか。
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なんでしょうか。
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「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
なんでしょうか。
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なんでしょうか。
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「「定義」という概念はwell-definedなんでしょうか。」はwell-definedなんでしょうか。
なんでしょうか。

なんでしょうか。

11 :132人目の素数さん:01/12/16 21:14
>>2
例えば、合同式なんかはどう?
a-bがNで割りきれるとき、a≡b (mod N)と書くことにする。
この合同式について足し算がwell-definedであることを示すというのは
a≡a' (mod N),b≡b' (mod N)のとき、必ずa+b≡a'+b' (mod N)
であることを示せばいい。掛け算も同様。

12 :132人目の素数さん:01/12/16 21:15
2ちゃんねるはwell-definedですか?

13 :132人目の素数さん:01/12/16 21:16
>>5
つまり、>>10みたいになるってこと。

14 :13:01/12/16 21:19
well-defined・・・一意性と再現可能性が同時に成り立つこと、ってことで。

15 :132人目の素数さん:01/12/16 21:25
一意ってなんですか。それはwell-definedな概念なんでしょうか。

16 :132人目の素数さん:01/12/16 21:27
>>15>>10に進め。

17 :132人目の素数さん:01/12/16 21:32
それよりもなぜ>>11>>2に話し掛けているのでしょうか。

18 :132人目の素数さん:01/12/16 21:36
>>17
見るも明らか、well-definedだ

19 :132人目の素数さん:01/12/16 21:38
集合Rから集合Sへの写像 f:R→S(r⇒s)
がwell-definedであるとは、
「任意のr=r’∈Rに対してf(r)=f(r’)である」
という事。

well-definedの定義は非常にシンプルだが。

20 :132人目の素数さん:01/12/16 21:43
つまりwell-definedなわけだ

21 :132人目の素数さん:01/12/16 21:45
「定義」の定義は何ですか。

22 :132人目の素数さん:01/12/16 21:48
再度お願いいたします。整数を例にとって教えていただけませんか?

23 :132人目の素数さん:01/12/16 21:48
>>19
そうか!!
よく考えると確かにwell-definedの定義はそれだ、
演算が自分への写像だと考えれば当然だった。
勉強不足だなぁ、俺。

24 :132人目の素数さん:01/12/17 23:59
>>22
松、竹、梅、今井の4コースがありますがどれをお選びになりますか?

25 :132人目の素数さん:01/12/24 14:37
あげ

26 :132人目の素数さん:01/12/24 15:59
>>24
今井でおながいします

27 :132人目の素数さん:01/12/24 16:27
今井塾セミナーにある整数の演算の定義は well-defined でしょうか? Yes or No
でお願いいたします。証明は一つだけでも構いません。

2)
(m1,n1)+(m2,n2)=(m1+m2,n1+n2)
(m2,n2)+(m,n)=(m1,n1) のとき,(m1,n1)−(m2,n2)=(m,n)
  
3)                    i個
(m,n)×i=(m,n)+(m,n)+(m,n)+・・・+(m,n)   整数の自然数倍
(m,n)×(i,j)=(m,n)×i−(m,n)×j 整数の整数倍
(m2,n2)×(m,n)=(m1,n1) のとき、(m1,n1)÷(m2,n2)=(m,n)
  
4) i個
(m,n)^i=(m,n)×(m,n)×(m,n)×・・・×(m,n)     整数の自然数乗
(m,n)^(i,j)=(m,n)i÷(m,n)j 但し、(i,j)≠(〇,〇) 整数の整数乗

28 :132人目の素数さん:01/12/24 16:36
今井塾セミナーにある整数の演算の定義で well-defined を扱う予定はありませんが、皆さんが話題になされておれれますので、ちょっと気になります。

29 :132人目の素数さん:01/12/24 16:44
おれれませんが何か?

30 :132人目の素数さん:01/12/24 16:54
>>27
今井数学じゃそうなってるわけ?じゃちいーとまじぃなぁ
今井の旦那。やっぱり割り算のときにゃ、0で割らないように
気ィつけぇーやぁ。

31 :132人目の素数さん:01/12/24 16:54
>>28
アホは気にしなくてよし

32 :今井弘一:01/12/24 22:00
足し算の well-defined くらいなら、知っている人には証明は簡単だと思いますがねぇ。誰か書いてくれませんか???


33 :今井弘一:01/12/24 22:13
下記ページの定理14はの well-defined を意図した定理ではなかったのですが、「それが well-defined の証明である」とのメールを頂いたことがあります。
私にはその意味が分かりませんでした。そして今でも分かりません。これが well-defined とは思えません。well-defined とは何ですか???

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/seisu/no002.html

34 :132人目の素数さん:01/12/24 22:25
32,33>>
本物だとしたら相変わらず救いようのないあほ。
偽者だとしたらすごいね。

35 :132人目の素数さん:01/12/25 06:09
>>34
やっぱり本物なのだろうな。

>>32>>33 今井の旦那、数学はちぃーと難しいぜ。ゲートボールで
汗ながしてビールでも飲んでる方がいいぞ。

36 :132人目の素数さん:01/12/25 09:50
well-defined の証明は誰も書けないようですね・・・。 今井が知らなささそな well-defined を振りかざして今井に対抗しようして、それなら well-defined は何だと開き直られると、答えられる者が殆どいないではありませんか。

37 :132人目の素数さん:01/12/25 10:02
はいはい。よくできました。いいこは寝ててね。

38 :132人目の素数さん:01/12/25 10:25
>はいはい。よくできました。いいこは寝ててね。

正面から立ち向かえない哀れな者の後ろ姿よなぁ・・・。まぁ、気にするなよ。今井に立ち向かえる者はそうザラにはいないのであるから。

39 :132人目の素数さん:01/12/25 10:36
はいはい。よくできました。いいこは寝ててね。

40 :132人目の素数さん:01/12/25 10:50
心配しなくても今井のページはwell-definedをちゃんと論じたとしても
ゴミであることに変わりはない。

41 :132人目の素数さん:01/12/25 10:51
well-definedなんて知らない方が成仏できるぞ>今井

42 :132人目の素数さん:01/12/25 11:17
well-defined を振りかざして今井に立ち向かっても駄目ならどうしますか? 超準解析でも持ち出しますか・・・、虚数乗法なんてのが以前にありましたねぇ。これには参りました。

43 :132人目の素数さん:01/12/25 11:25
>>42
今井の旦那は、ビール、日本酒、焼酎、ワイン、、、、で何が
お好み?それともアルコールはダメですか?

44 :132人目の素数さん:01/12/25 13:57
そう言えば、「カオス」って数学的に言えば未だにwell-definedじゃないんだよね
定義が研究者ごとに違っていてはっきりしてないのに研究しているってところでしょうか

45 :132人目の素数さん:01/12/25 14:02
>>19に書いてあるじゃん。
well-definedの定義。

46 :132人目の素数さん:01/12/25 14:02
>>44
定義されたら、長続きしない。色々な定義があり得てわからないけど面白そう
だと思わせておくのが長続きの秘訣。芸人の芸みたいなものでしょう。それで
色々な分野がつながって、予算もでて研究が続くってわけで。

47 :132人目の素数さん:01/12/25 14:04
>>45
ちょっと間違ってるけどね。

48 :132人目の素数さん:01/12/25 14:08
>>45
19は写像が well-defined であることを示すときのこと
を書いてあるとはいえますね。でも r=r' であるとき
f(r)=f(r') がいえるって書き方は概念構成がはっきり
してなくて乱暴でしょう。

49 :132人目の素数さん:01/12/25 14:17
>>48
乱暴というか、論理的にちょっとまずい。
何らかの形で構成されたfがちゃんと写像になっている
というのがfがwell-definedってことなんだよね。

50 :19:01/12/25 14:26
直します。↓でどうでしょう?

集合Rの任意の元に対し集合Sの一つの元が対応する或る規則を
集合Rから集合Sへの写像という。
そして集合Rから集合Sへの写像f:R→S(r⇒s)
がwell-definedであるとは、
「任意のr=r’∈Rに対してf(r)=f(r’)である」
が成り立つ事である。

51 :132人目の素数さん:01/12/25 14:32
>>50
まるっきり同じじゃん・・・
俺もちゃんと考えてないんだけど、
ある集合Oおよびその同値関係?を考えて、
R=O/?
として、OからSへの写像fがRからSへの写像として
well-definedであるとは・・・
ってした方がいいんじゃないかな?

52 :51:01/12/25 14:35
ありゃ。ごめん。同値関係の記号が出なかったよ。
「?」ってのは同値関係の記号だと思ってくださいな。

53 :51:01/12/25 14:38
RがOに入ってるわけじゃないから51もまだちょっとおかしいね。

54 :132人目の素数さん:01/12/25 14:46
写像fのwell-definedって、
Imfに対して、fで逆像をとる操作をした時、単射になるってのと同じだと聞いたんだけど。

55 :132人目の素数さん:01/12/25 15:01
>>19に書いてあるじゃん。
>well-definedの定義。
とか言いながら、変だと指摘されるとすぐ出てくるアホ19

56 :19:01/12/25 15:04
同値関係必要なの…?

荒っぽく言えば”写像みたいなもの”を見つけたときに
それが写像であるかどうか判定しなくちゃいけない。
つまり、ある元を写したときにその元の行き先が2つ以上あってはいけなくて
一つの元は一つの元にしか写らないっていう事をね。

俺が書いた写像の定義
「集合Rの任意の元に対し集合Sの一つの元が対応する或る規則を
集合Rから集合Sへの写像という」
がwell-definedの定義のような気がしてきたんだが。

写像であるかどうかわからない”写像みたいなもの”を指す数学用語ってある?

57 :23:01/12/25 15:11
45を書いたのは俺です。

58 :132人目の素数さん:01/12/25 15:21
fは集合Rから集合Sへの写像だと言ってるんだから、
「任意のr=r’∈Rに対してf(r)=f(r’)である」
というのは当たり前なんじゃないかな。
well-definedの説明にはなっていないと思う。

59 :132人目の素数さん:01/12/25 15:29
>「集合Rの任意の元に対し集合Sの一つの元が対応する或る規則を
>集合Rから集合Sへの写像という」
>がwell-definedの定義のような気がしてきたんだが。
そう、そんな感じ。
well-definedが問題となるのは、Rの元の表現が複数あって、
fの構成がその表現のとり方に依存してしまっていて
一見しただけではfが写像かどうか分からないるときでしょ。
だからwell-definedの定義をあえて述べたいなら同値関係で割った集合に対して
定義したほうが分かりやすいように思うんだけどどうかな?

60 :23:01/12/25 15:31
>>59
元の表現が複数あるものって他にはないのかな?

61 :132人目の素数さん:01/12/25 15:36
60さん、今井の実数がありますよ。

62 :23:01/12/25 15:38
>>61
前に見たことある。
あんなのいらん

63 :59:01/12/25 15:39
Rに使われている表現全体の集合Oをとって、
Oの同値関係をRでの使われ方によって、すなわち
o_1,o_2が同値関係にある⇔o_1,o_2はRで同一の元を表す
と定義すればいつでもOKでしょ。

64 :23:01/12/25 15:40
Rの元に複数表現があるなら、
それらが全然別物である集合Sを考えて。
RをSの商集合だと思えばいいわけか。

65 :132人目の素数さん:01/12/25 16:02
well-definedではない例をあげてみましょう。参考までに。

Gを群、Hをその部分群とする。a*b^(-1)∈Hのときa〜bとすると、この関係〜は
同値関係になる。この同値関係による商集合をG/Hするとき、Gの演算から誘導される演算が
G/Hでwell-definedであるためには、HがGの正規部分群であることが必要十分。
つまり、Hが正規部分群でない部分群だとすると、誘導される演算はG/Hでwell-definedではない。

66 :追加:01/12/25 16:22
>a*b^(-1)∈Hのときa〜bとすると、
a,b∈G、*はGの演算、b^(-1)は逆元の意。

※Gの部分群Hが正規部分群であるとは、任意のa∈Gに対してa^(-1)*H*a=H
が成立するとき。

67 :math夫さん:01/12/25 20:14
「この定義はwell-definedである」という文句をよく耳にしますが、この表現は
論理的におかしい(例えばこれを英語に訳せば一目瞭然です)し、それが多くの場
合混乱の原因ともなっていると思います. 欧米では "This definition is
well-defined" というのはジョークにすらなっているというのを聞いた事もあり
ます. 私個人としては出来るだけ well-defined という言葉を使うのは避けた方
が良いという意見です. 殆んどの場合、この用語を用いなくとも、もっと実際的
な言い回しがあるからです. いわゆる well-defined 性が問題となるのは殆んど
の場合以下の様な状況です: f: X--->Y を写像、g: X--->Zを全射とする. この
時、h: Z--->Y なる写像で hg=f となるものがあるか、というのが問題です. こ
の時いわゆる「h がwell-definedである」というのは、単に「写像h が存在する」
という事に過ぎません(gが全射ですから存在すれば一意的です).
例えば65さんの例では fとして積 GxG--->Gを、gとしては自然な全射GxG--->
(G/H)x(G/H) とすれば良い訳です.

68 :math夫さん:01/12/25 20:16
あ、失礼、最後のf は間違いました. 正しくは fとして、積と自然な全射との
合成 f: GxG--->G/Hを考えるのでした. 訂正します.

69 :今井:01/12/25 20:36
皆さんのご意見を読んでみると、今井塾セミナーの整数の定義はどうやら well-defined のようです。ここでは高校生を対象にしておりますから、
それを扱いません。それを扱うつもりがなかったので、その意識はしていませんでしたが well-defined になっているようです。今井塾セミナー
に要求出来るのはここまでにしてください。

70 :132人目の素数さん:01/12/25 20:56
今井って、well-definedなの?

71 :132人目の素数さん:01/12/25 21:47
well-defined を意識しないでの定義を作れば well-defined になるんだから、今井は well-defined に決まっておろうが。

72 :132人目の素数さん:01/12/25 22:05
>>67 さんので今まで出てきてる写像に関するものはよいと思い
ますが、商集合に対してある概念を定義するも含めて、商集合の
方が普通扱われるものである場合 well-defined っていうのが
普通のように思います。もちろん、67さんのいわれる方が筋は
とおっていると思いますが。

73 :132人目の素数さん:01/12/25 23:24
>>44 みたいな使い方するの?

74 :KARL ◆gjHKPQSQ :01/12/26 15:17
平面αと平面βのなす角の定義:

平面αと平面βが交わっているとする。交線l上の点Pにおいて平面α上、
平面β上にそれぞれ垂線m,nを立てる。mとnがなす角(の大きさ)を平面α,βの
なす角と定義する。

この定義は交線l上の点Pの取り方によってmとnのなす角が異なるとしたら、
無効な定義となります。Pのとりかたによらずm、nのなす角が1つに決まること
を証明するひつようがあるわけです。それが証明できたら、平面のなす角の定義
はwell-definedだというわけです。(定義がwell-definedだというのはちょっと変
ですけど)

さてここでの使い方はすでに出てきた「well-defined」の定義にかなっている
のでしょうか。

 ちなみにこの問題は「平行線の公理を使わずに証明せよ」というかたちで
出題したことがありますが、だれにも答えていただけませんでした。
興味のあるみなさん、できたら考えてみてください。

75 :132人目の素数さん:01/12/27 06:04
>>69
 今井塾が高校生しか相手にしないのは勝手だけど、
塾長が高校の数学も理解出来ず、それでいて大学以上の数学を理解出来ないくせに
文句を付ける(しかも間違っている)のはいかがなものか。
 哀れなだけでなく、汚くて醜い。老醜にも程があるだろう。

76 :132人目の素数さん:01/12/27 08:07
>>67>>72のよい例が>>74にあるのでちょっとやってみましょう。
平面αと平面βについて交線lと直交するαの上の直線mと
やはり交線lと直交するβの上の直線nで交わるものの順序対
(m,n)の全体をAとする。すると写像f:A→[0,π)を
f((m,n))をm,nのなす角度として定義する。これは
well-defined。あと、このfが定数関数であることを示すと
「平面αと平面βの角度をf((m,n))とする」という宣言が
特別なm,nのとり方によらないことがわかる。つまり
well-defined。ついでだから、平面αと平面βのなす角度
と平面βと平面αのなす角度が等しいことなどもいっとけば
よい。
>>44のようなものは「数学の中に形式化されていない」って
いうような意味で定義されていないっていったところじゃない
でしょうか?

77 :76:01/12/27 08:29
>>76訂正
値域を[0,π/2)にしておかないとwell-definedでない
ですね。74は本当によい問題ってことで。

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